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Theoreme Central Limite

Posté par
robby3 21-03-08 à 22:06

Bonsoir tout le monde,
comme promis à Tigweg,voici mon dm(une partie) de probabilité.

Citation :
1)Montrer que si X+Y sont des variables aléatoires réelles à densité f et g et si h:R\rightarrow R^+ est mesurable alors:
6$ \rm E(h(X+Y))=\Bigint_{-\infty}^{+\infty} h(t)\(\Bigint_{-\infty}^{+\infty} f(u)g(t-u)du\) dt
En déduire que la densité de X+Y est f\star g


2)Soit (T_n) une suite de va exponentielles indépendantes de parametre \lambda.
On note \rm S_0=0 et S_n=T_1+...+T_n
Montrer par recurrence que pour n\ge 1 la desnité de S_n est
6$ \rm f_n(t)=\frac{\lambda^n.t^{n-1}}{(n-1)!}exp(-\lambda.t).1_{]0,+\infty[} (t)


3)On fixe >0
Montrer que 6$ \rm P(S_n\le \tau)=\frac{(\lambda.\tau)^n}{n!}exp(-\lambda.\tau)+P(S_{n+1}\le \tau)
En déduire la loi de \rm N_{\tau}=Inf\{n\ge 0;S_{n+1}>\tau\}
(Remarquer que \rm \{N_\tau=,\}=\{S_n\le \tau\}- \{S_{n+1}\le \tau\})


4)Si X est de densité f ,\rm a,b\in R,a>0,quelle est la densité de aX+b?


5)h_n la densité de 6$ \rm Y_n=\frac{S_{n+1}-n/\lambda}{\sqrt(n)/\lambda}
Vérifier que 6$ \rm h_n(t)=\(\frac{n}{e}\)^n.\frac{\sqrt (n)}{n!}.exp([g_n(t)]).1_{]-\sqrt(n),+\infty[}(t) \\ ou \\ g_n(t)=-\sqrt(n).t+n.ln(1+t/\sqrt(n))


6)Montrer que si \rm -\sqrt(n)<t\le 0 alors g'_n(t)\ge -t et que si t\ge 1 alors \rm \rm g'_n(t)\le -1/2

En déduire qu'il existe f integrable tel que \rm exp([g_n(t)]).1_{]-\sqrt(n),+\infty[}(t)\le f(t)


7)Montrer que
6$ \rm \lim_{n\to +\infty} \Bigint_{-\infty}^{+\infty} exp([g_n(t)]).1_{]-\sqrt(n),+\infty[}(t) dt=\Bigint_{-\infty}^{\infty} exp(-\frac{t^2}{2})dt

En déduire la formule de Stirling n!~\rm \(\frac{n}{e}\)^n.\sqrt(2\pi.n)


8)Montrer que 6$ \rm \forall t\in R,\lim_{n\to +\infty} h_n(t)=\frac{exp(-t^2/2)}{\sqrt(2\pi)} puis que \forall x\in R \\ \lim_{n\to \infty} \Bigint_{-\infty}^x h_n(t)dt=\Bigint_{-\infty}^x \frac{exp(-x^2/2)}{\sqrt(2\pi)}dt


9)En déduire que (Y_n) converge en loi vers G qui suite une loi N(0,1) puis que 6$ \rm \(\frac{S_n-n/\lambda}{\sqrt(n/\lambda}\) converge en loi vers G.


(j'ai fait la 1)
la 2) je bloque j'ai \Bigint_0^\infty (t-u)^{n-1}du...que j'arrive pas à calculer...peut-etre me suis-je planté.
Alors merci d'avance de toutes propositions pour avancer pas à pas ce jolie exercice

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 21-03-08 à 22:43

j'ai refait mes calculs pour la 2)
en fait voilà comment je vois la chose,
pour n=1 c'est trivial
pour n=2 ok
on suppose que f_n(t) est la densité de S_n
alors j'écris S_{n+1}=S_n+T_{n+1}
donc la densité de S_{n+1} est d'aprés 1) la convolée de celle de S_n et de celle de T_{n+1}
T_{n+1} suite une loi exponetielle donc sa densité est \lambda.exp(-\lambda.t).1_{[0,+^\infty[}
j'ai donc:

f_{S_{n+1}}(u)=\Bigint_0^{+\infty} \frac{\lambda^n.t^{n-1}}{(n-1)!}.exp(-\lambda.t) \lambda.exp(-\lambda(u-t))dt=\frac{\lambda^{n+1}}{(n-1)!}exp(-\lambda.u)\Bigint_0^{+\infty} t^{n-1} dt
et bon là ça part en vrille un peu...
ou est mon erreur?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 21-03-08 à 23:21

Salut robby3, quel problème, je n'en attendais pas tant!


Ton erreur est l'oubli de la fonction caractéristique:

quand tu écris f(t) ok il faut que t>0 ce qui limite l'intégrale aux positifs.
Mais pour la deuxième c'est f(u-t) donc il faut que u-t>0 donc t


Tigweg

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 21-03-08 à 23:31

ok!
c'est parfait!
je réfléchis à la suite demain!
Bonne nuit!

(il est long mais ne semble pas énormément compliqué...enfin j'ai pas dit que c'était facile non plus )

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 00:14

OK, bonne nuit robby!

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 12:35

Re,
pour la 3)
c'est bon.
pour la 4)

X a pour densité f
donc P(X\le t)=\Bigint_0^{t} f_X(x)dx
enfin si X suit une loi exponetielle.

on cherche \rm P(a.X+b\le t)=P(X\le \frac{t-b}{a})=\Bigint_0^{\frac{t-b}{a}} f_X(x)dx

je vois pas trop quoi faire de plus.
Je réfléchis à la suite aprés avoir manger!

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 14:01

pour la question 5)
6$ \rm Y_n=\frac{S_{n+1}-n/\lambda}{\sqrt(n)/\lambda}=\frac{\lambda.S_{n+1}-n}{\sqrt(n)}
donc on cherche

6$ \rm P(Y_n\le t)=P(\lambda.S_{n+1}-n\le t.\sqrt(n)) \\ =P(S_{n+1}\le \frac{t.\sqrt(n)+n}{\lambda}) \\ =\frac{\lambda^n}{n!}\Bigint_0^{\frac{t.\sqrt(n)+n}{\lambda}}t^n.exp(-\lambda.t) dt
et là ça coince...
ça m'a l'air assez complexe sachant qu'il faut trouver
6$ \rm h_n(t)=\(\frac{n}{e}\)^n \frac{\sqrt(n)}{n!}exp(g_n(t))1_{]-\sqrt(n);+\infty[}(t) ou \\ g_n(t)=-\sqrt(n).t+n.ln(1+t/\sqrt(n))

un petit coup de pouce?

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 14:35

pour la 6)
je trouve g'_n(t)=\frac{-t\sqrt(n)}{t+\sqrt(n)}
donc pour t\ge 1 g'_n(t)\le -1/2 =>pas de soucis

mais pour -\sqrt(n)<t\le 0
on a \sqrt(n)\ge t+\sqrt(n)>0 donc \frac{1}{\sqrt(n)}\le \frac{1}{t+\sqrt(n)}<0 \\
et d'autre part 0\ge \sqrt(n).t>-n donc 0\le -\sqrt(n).t<n
et donc quand je fais le produit,je trouve pas le bon résultat...
pour le "en déduire",ça ressemble vachement aux hypotheses du theoreme de dérivation sous le signe integrale...

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 14:59

le 7) je vois pas encore,
le 8) c'est bon
le 9) le premier "en déduire" est ok,pas le 2eme.

Voilà j'attend vos porpositions...je repasse dans un petit moment

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 15:15

Re,

4)Change de variable pour avoir t en haut de l'intégrale.
Tu vas récupérer la densité \frac 1a.f(\frac{s-b}a) pour aX+b.

5)Je ne comprends pas ton énoncé, que faut-il prouver?
Comment pourrait-on avoir le choix entre deux fonctions différentes pour la même densité??

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 15:16

Pardon, il faut lire x à la place de s.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 15:17

Ah non j'ai mal lu, pardon!

Ne tiens pas compte de ce que j'ai dit pour la question 5!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 15:36

OK pour la 5!

Tu t'embêtes pour rien, c'est une application directe de la question 4 puisque tu connais la densité de Sn+1 et que tu veux ladensité de Yn=a.Sn+1 + b avec a=(lambda)/(racine de n) et b=-racine de n.

Par contre faut pas perdre son sang-froid, ce qu'on trouve ne ressemble pas trop à ce qui est marqué mais ça marche!

La première étape est:


6$f_{Y_n}(t)=[\frac{\sqrt n}{\lambda}.\frac{(\lambda)^{n+1}}{n!}.[\frac{(t+\sqrt n).\sqrt n}{\lambda}]^n.e^{-\lambda.(\frac{(t+\sqrt n).\sqrt n}{\lambda})]\;\;\;.1_{]-\sqrt n;+\infty[}(t)

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 19:46

Bon,
reprenons:
pour la 4)
on pose x=\frac{u-b}{a}
j'ai du mal avec les bornes!
on a u=ax+b donc dx=\frac{du}{a}
d'ou 6$ \rm P(X\le \frac{t-b}{a}) \\ \\ =\Bigint_0^{\frac{t-b}{a}}f_X(x)dx \\ \\ =\frac{1}{a}.\Bigint_b^{t}f_U(\frac{u-b}{a})du

aprés je trouve en fin de calcul
6$ \rm 1-exp(-\frac{\lambda}{a}(t-b))
ça c'est la fonction de répartition de la var aX+b...
maintenant faut dériver par rapport à t pour obtenir la densité!
j'obtiens 6$ \rm f_{aX+b}(t)=-\frac{\lambda}{a}exp(-\frac{\lambda}{a}(t-b)) donc aX+b suit une loi exponentielle de paramètre \frac{\lambda}{a}>0.
est-ce bien correct? j'ai un doute?
(non non j'ai pas oublier l'indicatrice,elle est dans ma tete)


je réfléchis aprés manger à la 5) avec ton indication Tigweg!
A tout à l'heure!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 20:13

Attends robby, tu as mal lu la question, il faut le faire pour toute v.a. X, pas seulement si X suit une loi exponentielle!

Ensuite inutile de faire le calcul explicite de l'intégrale en général (de toute façon c'est impossible sans connaître f!), il suffit de voir quelle fonction apparaît sous l'intégrale avec des bornes -infini et t, ce sera forcément la densité!

C'est vraiment tout bête:

comme 4$a>0 ,
4$P(aX+b\le t)=P(X\le\frac{t-b}a)=\Bigint_{-\infty}^{\frac{t-b}a}f(x)dx


On pose logiquement 4$y=ax+b d'où:

4$P(aX+b\le t)=\Bigint_{-\infty}^t\frac 1af(\frac{y-b}a)dy


ce qui prouve que 4$aX+b admet bien pour densité 4$\frac 1af(\frac{y-b}a) par rapport à la mesure de Lebesgue (elle est bien mesurable positive).

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 21:05

Ok d'accord Tigweg!

pour la 5) je m'emmêle encore les pinceaux!

On veux la densité de Y_n.
d'aprés la question précédente ça va etre:
On a a=\frac{\lambda}{\sqrt(n)} et b=-\sqrt(n)
et f(x)=\lambda.exp(-\lambda x)
donc la densité de Y_n est
\frac{\sqrt(n)}{\lambda}.[\lambda.exp(-\lambda.\frac{\sqrt(n)(t+\sqrt(n))}{\lambda})].1_{]0,+\infty[}(t)

non?
je comprend pas ton résultat de 15:36!
je patauge complet là!

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 21:12

ah non je fais fausse route sur f!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 21:16

Nein mein General!

T'as pris la densité de la loi exponentiele, pas celle de Sn+1!
Or Yn est défini à partir de Sn+1, donc reprends sa densité!Tu l'as obtenue question 2.

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 21:17

j'ai la meme chose que 15:36 sauf pour l'indicatrice!
tu peux m'expliquer s'il te plait?

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 21:26

en fait y'a que l'indicatrice qui me gene...
la vérification,c'est bon!
On pourra passer à la 6 ensuite

en fait moi je garde l'indicatrice sur ]0,+\infty[,je comprend pas quand est-ce qu'intervient le changement!

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 21:28

ah si ok,c'est quand on fait le changement de variable!!
OK c'est cool!

une idée pour le début de la 6)(pour la 1er inégalité)?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 21:30

Attends, je vais manger, je reviens!

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 21:31

Ok d'accord!
Bon appétit!
J'essaye d'avancer!

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 21:37

C'est bon pour l'inégalité!
par contre je vois pas bien le rapport avec le "en déduire"...?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 21:51

Re!
Mais c'est bon pour la 5 robby?Tu as bien tout prouvé?

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 22:01

pour la limite de la 7) c'est bon!
je médite sur le "en déduire"

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 22:02

oui oui c'est bon pour la 5!

alors maintenant, revenons-en à nous moutons
on en est à la 6)
"En déduire qu'il existe f integrable tel que exp[g_n(t)]1_{]-\sqrt(n),+\infty[}\le f(t)
une idée?

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 22:35

là par contre je seche!
Voici ce qu'il me manque:

-le "en déduire" du 6)
-le "en déduire" du 7)(formule de Stirling)
-le pour tout x dans R du 8)
-le 2eme "en déduire" du 9)(je suis pas sur de ma réponse)

Si vous avez une idée,je suis preneur!

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 22:50

pour le "en déduire" du 7) formule de Stirling,il faut voir que \Bigint_{-\infty}^{+\infty}exp(g_n(t))1_{]-\sqrt(n);+\infty[}(t) dt=\(\frac{n}{e}\)^n.\frac{\sqrt(n)}{n!}
ça doit venir du changement de variable mais je saisi pas le truc
mais je le vois pas!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 23:09

Ok me revoilà robby!

Je regarde tout ça!

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 23:13

regarde,regarde,je crois que là j'ai plus d'idées...

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 23:44

Bon bah à Demain Tigweg...
espérons que la nuit m'apporte les solutions!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 23:46

Bon pour la 6 je suis embêté,

pour x > 1 g'_n(x)\le -\frac 12

donc par intégration entre 1 et t il vient pour t>1

g_n(t)\le -\frac t2+\frac 12-(\sqrt n-n\ell n(1+\frac 1{\sqrt n}))


La suite (\sqrt n-n\ell n(1+\frac 1{\sqrt n})) converge vers 1/2 (faire un dl) donc est bornée.
Il existe donc M indépendant de n tel que pour tout n entier et t>1 on ait


e^{g_n(t)}\le Me^{-\frac t2}

qui est une fonction intégrable sur [1;+\infty[.


Maintenant j'avoue ne pas bien voir comment utiliser la minoration sur [-\sqrt n;0]...

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 22-03-08 à 23:46

Tu vas te coucher robby?

Bon ben bonne nuit alors!

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 23-03-08 à 11:56

Citation :
Tu vas te coucher robby?

> j'ai cru que t'en avais eu marre(et j'aurais largement compris! )
Alors je me suis dis vaut mieux voir ça demain!

Bref,je suis d'accord avec ce que tu as fait à 23:46,j'vais la meme chose,mais je sais pas si _a nous aide beaucoup!
je me demande si la fonction f(t) ne serait pas trés proche de exp(-t^2/2)??
En gros je suis toujours coincé!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 23-03-08 à 12:05

Salut!

C'est possible, je verrai ça ce soir après la fête de famille (Pâques oblige...)
En plus y neige, ils ont confondu avec Noël chez nous!

Bon courage et à ce soir robby!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 23-03-08 à 12:07

Mais en fait sur les négatifs il faudrait que la fonction soit inférieure à un truc intégrable sur -infini;0 c'est pour ça que j'étais gêné!

Par contre c'est sûr que les intervalles sont indépendants, donc ce qu'on a fait sur les positifs s'appliquera!

Allez j'y vais, chuis à la bourre!

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 23-03-08 à 12:11

ok!
Bonne fete de paques alors!
A+ et attention sur la route s'il neige

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 23-03-08 à 20:59

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 23-03-08 à 21:29

Re robby et joyeuses Pâques à toi aussi!

Tu as avancé un peu ou le chocolat t'en a-t-il empêché?

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 23-03-08 à 21:43

Non non je suis toujours bloqué!
toujours aux memes endroits!

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 23-03-08 à 21:56

Bon admettons qu'on sache faire la 6) parce que là...
la 7) l'égalité provient de la convergence dominée...
tu vois quelque chose pour le "en déduire"?
il faudrait montrer 22:50.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 23-03-08 à 22:02

ROBBY!!!!!!!!

On est des gl*nds, je l'ai la 6!!
C'était tellement évident qu'on ne voyait rien!

Bon je te poste ça, et hauts les coeurs!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 23-03-08 à 22:17

4$\forall t\in ]-\sqrt n;0],\; g'_n(t)\ge -t\; \\ donc\;\forall x\in ]-\sqrt n;0],\;\Bigint_t^0g'_n(x)dx\ge \Bigint_t^0-xdx

D'où:

4$g_n(t)-g_n(0)\le -t^2/2


et


4$e^{g_n(t)}1_{]-\sqrt n;0]}(t)\le e^{-\frac{t^2}2}1_{]-\sqrt n;0]}(t)\le e^{-\frac{t^2}2}



dont l'intégrale converge sur R!!!

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 23-03-08 à 22:23

voilà!
Excellent Tigweg...en fait j'avais le -t²/2
mais aprés je ne savais pas quoi faire des indicatrices...c'était un peu tout bete

Bon ça c'est fait!
Passons à la 7)

il me manque le "en déduire"

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 23-03-08 à 22:31

Ok j'ai pas encore regardé, j'attendais ta réaction de satisfaction avec impatience!

Ok je regarde!

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 23-03-08 à 22:36


oué c'est vrai que sur ce coup là t'a bien géré quand meme...on est resté bloqué longtemps sur un truc vraiment pas insurmontable!

la formule de sTirling ça m'a l'air d'etre tout aussi bidon mais là encore,j'ai des oeilleres!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 23-03-08 à 22:38

Ok, je l'ai no souci!
Je poste!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 23-03-08 à 22:47

h_n est la densité d'une certaine va.
A ce titre, son intégrale sur R vaut 1 pour TOUT n.
(hé hé niark niark)

D'où:

4$\forall n\in\mathbb{N},\;1=\Bigint_{-\infty}^{+\infty}h_n(t)dt=(\frac ne)^n\frac{\sqrt n}{n!}\Bigint_{-\infty}^{+\infty}e^{g_n(t)}1_{]-\sqrt n;+\infty]}(t)dt


Comme le membre de gauche et l'intégrale du membre de droite ont une limite en l'infini, le premier facteur du membre de droite aussi, et on peut donc écrire à la limite:


4$1=\lim_{n\to{+\infty}}(\frac ne)^n\frac{\sqrt n}{n!}\Bigint_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{t^2}2}dt

Il n'y a plus qu'à remplacer l'intégrale par sa valeur et le résultat tombe sur un plateau!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 23-03-08 à 22:48

Il faut juste aussi dire que la limite de l'intégrale est non nulle (rigueur, quand tu nous tiens!)

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