Bonjour
Je ne peux que donner des idées. A toi d'essayer de mettre en forme (pas évident)

Voici une démarche possible (celle qui correspond le mieux à ton attente) :

1/ Lemme de Goursat.
Ce lemme permet de montrer qu'en tout point a de U, il existe une boule ouverte de centre a dans laquelle f admet une primitive.
2/ Extension du lemme de Goursat à un polygone (par triangulation de ce dernier). D'où  le résultat : l'intégrale de f  le long d'un lacet de Jordan polygonal (et plus généralement d'un lacet polygonal quelconque) est nulle.
3/ Cas d'un lacet C quelconque.
On considère une suite de points z0 , z1 , …, zi ,..... du lacet . Notons Ci la portion de lacet entre zi et zi+1. En choisissant max|zi+1 - zi| assez petit Ci et le segment [zi,zi+1] seront dans une même boule ouverte incluse dans U d'où (existence locale d'une primitive) l'intégrale de f le long de Ci = l'intégrale de f le long du segment [zi,zi+1]. En recollant les morceaux : l'intégrale de f le long de C = l'intégrale de f le long du lacet polygonal z0 , z1 , …, zi ,.....

Une autre démarche :
je remplace 3/ par
3bis/ a étant un point de U et z un autre point, on pose F(z) = l'intégrale de f le long d'une ligne polygonale joignant a à z . On montre que cette valeur ne dépend pas de la ligne polygonale joignant a à z et que F est une primitive de f dans le domaine U.