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theorème de dirichlet

Posté par
double0 31-03-08 à 11:08

bonjour à tous

j'ai un exercice pour lequel je n'arrive pas à aplliquer le théorème.

f(t)=t(-t) avec t(0;)

je trouve que les coeff bn sont nuls car la fonction est paire et an = -1/n².

ensuite je dirais que f est continue sur R , derivable par morceaux de dérivée continue par morceaux. Donc f satisfait les conditions de Dirichlet. mais après je ne sais pas comment écrire ma serie.

je vous remercie de bien vouloir m'éclairer.

Posté par
H_aldnoerre : theorème de dirichlet 31-03-08 à 11:18

Bonjour.

On a S_n[f](x)=\frac{a_0(f)}{2}+\Bigsum_{n\ge 1}a_n(f)cos(nx)+b_n(f)sin(nx).

Posté par
double0re : theorème de dirichlet 31-03-08 à 11:22

bonjour H_aldnoer,

je te remercie pour ta réponse. et j'aurai une petite précision à te demander.

pourquoi ao/2 car dans mon cours ce n'est inscrit nulle part.

je te remercie

Posté par
H_aldnoerre : theorème de dirichlet 31-03-08 à 11:26

Il faut voir que :
f=\lim_{n\to +\infty} \Bigsum_{k=-n}^nc_k(f)e^{ikx} au sens de la norme ||.||_2.

On appelle le polynôme \Bigsum_{k=-n}^nc_k(f)e^{ikx} la n-ième somme partielle de Fourier de f.

Posté par
H_aldnoerre : theorème de dirichlet 31-03-08 à 11:28

La fonction est-t-elle f(t)=t(\pi-t) ?

Posté par
double0re : theorème de dirichlet 31-03-08 à 11:29

oui c'est ça

Posté par
H_aldnoerre : theorème de dirichlet 31-03-08 à 11:30

A-t-on vraiment que f(-t)=f(t) ?

Posté par
double0re : theorème de dirichlet 31-03-08 à 11:33

en fait on nous dit que la fonction est pi periodique donc je crois que l'on peut dire que oui

non?!

Posté par
H_aldnoerre : theorème de dirichlet 31-03-08 à 11:35

Fais le calcul ...
Ta fonction est \pi-périodique signifie que f(t+\pi)=f(t).

Refais les calculs de a_n(f) et b_n(f).

Posté par
PILthéorème de Dirichlet 31-03-08 à 11:36

Bonjour,

C'est juste : la fonction satisfait les conditions de Dirichlet.
Votre valeur pour an est exacte. Mais il faut encore calculer le terme constant, qui n'est pas nul ici. Après vous écrivez :
"série de Fourier de f" =  terme constant  +  
                            somme des an*cos(n*pulsation*t)
Bonne journée !

Posté par
H_aldnoerre : theorème de dirichlet 31-03-08 à 11:37

Bonjour PIL!
La fonction est-elle paire ?

Posté par
double0re : theorème de dirichlet 31-03-08 à 11:42

je retrouve an = -1/n² et bn =0 pourquoi ?

Posté par
double0re : theorème de dirichlet 31-03-08 à 11:46

bonjour PIL

justement je ne comprends comment on calcule ce fameux terme constant !

merci

Posté par
PILthéorème de Dirichlet 31-03-08 à 11:51

Bonjour H-aldnoer !

La fonction f définie sur R par f(t) = t(pi-t) n'est évidemment pas
paire. Mais ici on parle de la fonction pi-périodique définie par
f(t) = t(pi-t) sur (0,pi). Elle est paire parce que "symétrique par rapport à pi/2" : f(pi/2 + t) = f(pi/2 - t).

Posté par
H_aldnoerre : theorème de dirichlet 31-03-08 à 11:54

Ok PIL, je vois.
deouble0, pour le terme constant il faut calculer a_0(f).

Posté par
double0re : theorème de dirichlet 31-03-08 à 11:57

je trouve ao=pi²/6

merci a vous deux

Posté par
H_aldnoerre : theorème de dirichlet 31-03-08 à 12:00

Oui!
Au final, en appliquant Dirichlet à la fonction f C^1 par morceaux, tu dois retrouver la valeur bien connu \Bigsum_{n\ge 1} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}

Posté par
PILthéorème de Dirichlet 31-03-08 à 12:01

Bonjour double0 !

Le terme constant est la moyenne de la fonction f sur l'intervalle-période, donc "intégrale de f sur l'intervalle-période" divisé par "longueur de cet intervalle". Selon les bouquins il est noté a0, ou a0/2, ou A0, ou ...

Posté par
double0re : theorème de dirichlet 31-03-08 à 12:08

ok je vous remercie je crois que j'ai bien compris maintenant.
en fait on utilise la deuxième partie du théorème de dirichlet cad [f(to+)+f(t0-)]/2 que si la fonction n'est pas continue.

Posté par
double0re : theorème de dirichlet 31-03-08 à 16:03

mr revoilà avec une nouvelle question ! on me demanadait d'écrire le développement de f en serie de fourier.

Donc si j'ai bien compris, j'écris F(t)= 3$\frac{\pi^2}{6} + \sum_{n\ge1}-\frac{1}{n²}cos(2nt)

ensuite il nous demande d'utiliser ce developpement en série de fourier de f pour t=0 et t=pi/2 pour déterminer la valeur des sommes de
3$\sum_{n\ge1}\frac{1}{n^2} et 3$\sum_{n\ge1}\frac{((-1)^n)}{n²}

Posté par
double0re : theorème de dirichlet 31-03-08 à 16:03

?=²

Posté par
double0re : theorème de dirichlet 31-03-08 à 16:46

bonjour à tous,

il y a quelqu'un qui pourrait m'expliquer comment je passe d'un développement de serie de fourier aux calculs d'une somme pour une valeur donné de la variable.

je n'y comprends rien, merci d'avance !

Posté par
PILthéorème de Dirichlet 31-03-08 à 16:55

Rebonjour double0 !

Puisqu'elle est continue, votre fonction est égale pour chaque t à la somme de sa série de Fourier, comme vous l'avez écrit.
Prenez t = 0. Vous calculez la valeur de f en t=0 en utilisant la définition de la fonction. Puis vous posez t=0 dans la série de Fourier : il vient une série numérique. Vous écrivez l'égalité et vous en déduisez la valeur de votre première série.
Vous recommencez avec la valeur t=pi/2; c'est juste un peu plus délicat à cause des valeurs des cosinus !

Posté par
double0re : theorème de dirichlet 31-03-08 à 16:58

ahhh merci pour tout pil !


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