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Niveau Maths sup
Théorème de Polya
Posté par Etcha66
Bonsoir.
Voilà un bon moment que je bloque sur un exercice, ayant pour but de démontrer le théorème suivant :
P
[X], unitaire tel que deg(P)
1
On note C = {z| |P(z)|
2} et RP = {Re(z)|zC}.
On veut montrer que l'ensemble R peut être recouvert par un nombre fini de segments disjoints dont la somme des longueurs est inférieure ou égale à quatre.
On note z1,...,zn les racines dans de P comptées avec multiplicité. Pour tout entier i entre 1 et n, on pose xi=Re(zi).
On pose aussi le polynôme de 
[X] Q = (X-x1)...(X-xn)
Pour tout polynôme R[X] on note :
ER={x| |R(x)|2}.
a - Montrer que R
EQRQ
b- Montrer que : soit Q est strictement monotone sur soit il existe un entier p
et des réels u0<...<up tels que la fonction polynomiale Q soit strictement monotone sur les intervalles ]-
;u0],[u0,u1]...[up,+
[.
En déduire que EQ est une réunion de segments deux à deux disjoints.
Bon, pour la a), j'ai établi la première inclusion mais je n'arrive pas avec la deuxième.
Pour la b), je ne comprends pas vraiment ce qu'il se passe. Pourriez-vous m'expliquer la situation ?
Merci par avance 
Bonjour Etcha66.
Il semble que la question b- soit une question d'ordre général sur les polynômes.
En effet, la dérivée d'un polynôme étant un polynôme, ladite dérivée n'a qu'un nombre finie de racines. D'où la conclusion.
Je ne demande pas mieux, mais quand on lit l'énoncé, il semble qu'il manque la définition de l'ensemble R ... a moins que ce soit une faute de frappe pour dire RP mais je préfère m'en assurer.