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Theoreme de rolle

Posté par
rmp
26-01-22 à 12:24

Bonjour l'exercice est:
f est definie de [a;b] vers R derivable telle que f'(a)=f'(b) . Montrer qu'il existe c de [a;b] ouvert tel que
f'(c)=f(c)-f(a)/c-a
J'ai posé la fonction taux d'acroissement en a pour montrer que sa dérive s'annule mais je n'arrive pas à appliquer Rolle

Posté par
lake
re : Theoreme de rolle 26-01-22 à 13:16

Bonjour,

Tu peux d'abord appliquer Rolle à g définie par :

   g(x)=f(x)-f(a)-(x-a)\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} sur [a,b]

  Puis continuer toujours avec Rolle sur un certain intervalle [a,c] avec la fonction h définie par :

    h(x)= \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}

Posté par
rmp
re : Theoreme de rolle 26-01-22 à 13:52

Lorsque j'applique rolle à la fonction g je tombe sur le théorème des accroissements finis et lorsque j'applique rolle à la fonction h sur l'intervalle [a,c] j'obtiens limh(x) lorsque x tend vers a egale à f'(a) qui n'est pas egale à h(c)

Posté par
lake
re : Theoreme de rolle 26-01-22 à 14:34

Je me suis mal exprimé :

  Après avoir remarqué que g(a)=g(b)=0 et g'(a)=g'(b), il faut prouver qu'il existe x_0\in]a,b[ tel que g(x_0)=0

  On a ensuite h(x_0)=h(a) et on applique Rolle à h sur l'intervalle [a,x_0]

Posté par
rmp
re : Theoreme de rolle 26-01-22 à 14:49

Merci infiniment pour votre aide

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Theoreme de rolle 26-01-22 à 20:40

Bonjour

Raisonnons par l'absurde en supposant que \Large \red\boxed{\forall x\in]a,b[\;,\;f^{'}(x)\neq\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}

et considérons la fonction \Large \boxed{h : [a,b]\to\mathbb{R}~,~h(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}~si~x\neq a~~et~~h(a)=f^{'}(a)}.

Il est facile de vérifier que la fonction h est continue sur [a,b] , dérivable sur ]a,b] et dont la dérivée ne s'annule pas sur ]a,b[,

avec \Large \boxed{\forall x\in]a,b[\;,\;h^{'}(x)=\frac{f^{'}(x)-h(x)}{x-a}}.


h est donc injective (par Rolle) et comme elle est continue, elle est strictement monotone sur le segment [a,b].


Or \Large \boxed{h~strictement~croissante~\Longrightarrow~h^{'}(b)\geqslant0~\Longrightarrow~f^{'}(b)\geqslant h(b)>h(a)=f^{'}(a)}

et \Large \boxed{h~strictement~décroissante~\Longrightarrow~h^{'}(b)\leqslant0~\Longrightarrow~f^{'}(b)\leqslant h(b)<h(a)=f^{'}(a)}.


Et on voit que la supposition de l'encadré rouge contredit l'hypothèse \Large \blue\boxed{f^{'}(a)=f^{'}(b)}.


On conclut alors que \Large \blue\boxed{\exists c\in]a,b[\;,\;f^{'}(c)=\frac{f(c)-f(a)}{c-a}} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
lake
re : Theoreme de rolle 27-01-22 à 12:45

Bonjour ehlor_abdelali,
  
C'est une belle démonstration !
J'en profite pour poster une illustration :

Theoreme de rolle

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Theoreme de rolle 27-01-22 à 13:31

Bravo lake belle illustration ! justement je comptais la faire

Et comme tu l'as sans doute remarqué par symétrie des hypothèses sur a et b, on a aussi l'existence de d\in]a,b[ tel que \Large f'(d)=\frac{f(d)-f(b)}{d-b}

Posté par
lake
re : Theoreme de rolle 27-01-22 à 13:51

Mince, non, je n'y avais pas pensé !

Et on voit immédiatement la seconde tangente issue de B !

Merci elhor_abdelali

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Theoreme de rolle 27-01-22 à 18:54

C'est un plaisir lake

Tu me diras avec quel logiciel tu as fait ce beau dessin !

Posté par
lake
re : Theoreme de rolle 27-01-22 à 18:56

Mais avec GeoGebra bien sûr !

Quoi d'autre ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Theoreme de rolle 27-01-22 à 19:16

GeoGebra c'est noté



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