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Théorème des 2 carrés
Posté par fabo34
Bonjour.
Fermat, dans une lettre à Carcavi d'août 1659, dit savoir démontrer des résultats affirmatifs en appliquant sa méthode de descente. Pour , il suppose qu'il existe un premier à la fois somme de 2 carrés et non congru à 1[4]. Il dit alors en déduire un plus petit, et de proche en proche jusqu'à finir sur 5, qui lui est congru à 1[4], d'où une contradiction.
Connaissez-vous cette démonstration. Des références? Je ne trouve rien via les moteurs.
Bonjour,
Je ne sais pas si ça peut répondre à ta question. Mais je donne quand même ce lien très riche :
Merci Sylvieg.
C'est abordé. Mais il est dit "La stratégie qu'il dit avoir employée ... n'a été concrétisée par aucun de ses successeurs.". Et rien dans le wiki anglais.
Bon. C'est effectivement bizarre car ça n'est pas une descente infinie, mais une descente vers l'absurde. Quand même bizarre que personne n'ait pu retrouver ce qu'il dit avoir trouvé. Fermat n'a aucun intérêt à mentir. Il dit même: "je fus longtemps sans pouvoir appliquer ma méthode aux questions affirmatives, parce que le tour et le biais pour y venir est beaucoup plus malaisé, que celui dont je me sers aux négatives. [...] Mais enfin une méditation diverses fois réitérée me donna les lumières qui me manquoient, et les questions affirmatives passèrent par ma méthode, à l'aide de quelques nouveaux principes qu'il y fallut joindre par nécessité"
J'ai appris au passage que toute récurrence "normale" pouvait se mettre sous une forme "absurde" avec P(n) faux => P(n-1) faux. Or P(1) vrai => P(n) vrai. Mais là ici c'est vraiment différent: c'est P(n) vrai => P(n-1) vrai. Or P(1) faux =>P(n) faux
J'aurais bien voulu avoir un exemple appliquant cette telle technique de descente vers l'absurde. Avez ça dans vos cartons?