Salut !

déja la fonction est paire, donc tu peut calculer à la place 1/2 * l'intégral de - l'infinit à + linfinit de la même chose.

ensuite tu peut remplacer le sin(x) par un exp(ix) et prendre la parti imaginaire à la fin. l'interet ? c'est que contrairement à sin, quand la partie imaginaire de x tend vers + l'infinit, exp(ix) tend vers 0 !

du coup tu va pouvoir calculer l'intégral en utilisant le contour suivant : le segement [-R,R] et le demi cercle de centre 0 et de rayon R dans le plan Im(z)>0.

tu vois comment faire ?

Bonsoir paulinette

Lorsque l'on veut calculer une intégrale avec du sinus, appliquer le théorème des résidus avec une fonction qui contient sin(z) ne permet pas d'aboutir en général. En effet, cela est dû au fait que le sinus complexe et la somme de deux exponentielles complexes qui ont des comportement différent selon le demi-plan complexe sur lequel on se place.
L'idée est toujours la même (pour des intégrales pas trop étranges) : prendre une fonction qui tend vers 0 lorsque la partie réelle ou imaginaire de z tend vers l'infini, lorsque z reste dans un demi-plan.

L'idée est d'alors de considérer la fonction f définie sur l'ouvert par :



Cette fonction paraît convenir a priori : lorsque la partie imaginaire de z tend vers , la fonction tend vers 0.

Le contour que l'on va prendre est donc celui constitué du segment [-R,R] et du demi-cercle supérieur de diamètre [-R,R] (où R est un réel strictement supérieur à 1).

Il ne reste plus qu'à appliquer le théorème des résidus et évidemment à calculer le résidu.

Kaiser

grillé !
salut Ksilver !

Kaiser

Tout d'abord, merci beaucoup pour vos explications.
J'ai bien compris la méthode à suivre.
Pour calculer l'intégrale sur le cercle de rayon R j'utilise le lemme des grands cercles et c'est ainsi que zf(z) tend vers 0 quand Im(z) tend vers +.
Pour calculer les résidus je dois développer la fonction en série entière autour de i et -i et regarder le coefficient a_-1.
Et enfin il me reste à calculer l'intégrale sur [-R;R]. Pour cela je dois procéder à un calcul ordinaire?
Est-ce bien ces étapes que je dois faire?

Je ne connais pas ce lemme des grands cercles mais je suppose qu'il te permet de dire que l'intégrale sur le demi-cercle tend vers 0 lorsque R tend vers l'infini.

Pour le calcul du résidu, de simples développement limités devrait largement suffire suffire (parce que personnellement, je ne me lancerai pas dans le DSE de cette fonction ! )
Bref, pour l'intégrale sur le segment, tu utilise simplement la définition de l'intégrale sur un changement (c'est ce morceau qui,une fois que tu auras fait tendre R vers l'infini, qui te donner l'intégrale voulu).

Kaiser

Ok merci pour ces précisions.
Le lemme des grands cercles donne effectivement le résultat que vous citez.
Pour les DL, je suppose que je fais un changement de variables.
Et donc pour le dernier morceau, c'est aussi un changement de variables?

Merci.
J'ai posé z=t+R pour l'intégrale et je trouve qu'elle tend vers 0 quand R tend vers l'infini, mais ça me semble bizarre, j'ai dû faire une erreur.
au final je trouve que l'intégrale demandée=2i.
Mais si l'intégrale sur -R,R est fausse, ça ne doit pas etre ça

Non, je ne pensais pas à ce changement de variable.
On sait que l'intégrale sur le segment [-R,R] vaut .

On laisse tranquille l'intégrale de 0 à R et on modifie l'intégrale de -R à 0 en effectuant le simple changement de variable u=-t et ensuite, tu assembles les 2 sous la même intégrale entre 0 et R et tu vas te retrouver avec du sinus.

Kaiser

Juste pour information, pour ma part, je trouve que



Kaiser

ok merci, j'ai réussi à m'occuper de l'intégrale sur -R,R, et je trouve qu'elle tend vers 2i*l'intégrale de départ.
Cependant je ne trouve pas le bon résultat et je pense que ça vient de mes résidus. En effet, je trouve que les résidus en -i et en i sont égaux à 1.

Tout d'abord, le seul résidu à considérer est celui en i (car le lacet n'entoure pas le pôle -i).
Ensuite, effectivement, il y a un problème pour le calcul du résidu.

Je te fais le début du calcul :

on a

Ainsi, on a :




Or





et




donc



Reste à faire le DL des 3 parenthèses. Comme on a un en facteur, il suffit de faire des DL d'ordre 1. Mieux que ça : il suffit de déterminer le terme en h du DL.

Kaiser

Merci beaucoup pour votre aide. J'ai réussi à calculer l'intégrale, et surtout j'ai bien compris la méthode.

Mais je t'en prie !
Content que tu aies compris !