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Théorème des résidus

Posté par
lachgar 27-12-16 à 01:17

Bonjour/Bonsoir à tous.
J'ai l'habitude d'utiliser le théorème des résidus quand il y'a des polynômes  au dénominateur .
mais comme on fait quand il y'a des fonctions trigonométrique ou exponentielle.
Par exemple:
d/(5+3cos)²
de 0 à 2

Merci beaucoup.

Posté par
Glapion Moderateurre : Théorème des résidus 27-12-16 à 11:10

On peut également trouver une primitive
= -(6 sin(x) + 5 (3 cos(x) + 5) arctan(2 cot(x/2)))/(32 (3 cos(x) + 5))
et donc calculer l'intégrale
= 5/32

Posté par
lionel52re : Théorème des résidus 27-12-16 à 11:26

Salut
La méthode usuelle c'est de voir cette intégrale comme l'intégrale sur le cercle unité de

\int_C \frac{1}{iz} \frac{1}{(5 + 3\frac{z + 1/z}{2})^2}dz

En effet, en paramétrant C par \theta \to z = e^{i\theta} entre 0 et 2\pi,
cos(\theta) = \frac{z + 1/z}{2}
sin(\theta) = \frac{z - 1/z}{2i}
\frac{dz}{iz} =\frac{ie^{i\theta}d\theta}{ie^{i\theta}}

Ensuite tu as à calculer

\int_C \frac{4z}{i} \frac{1}{(10z + 3z^2 + 3)^2}dz


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