Bonjour.

Ici, c'est la méthode classique pour les fractions rationnelles.
On intègre sur des demi cercles centrés en 0.

(cf le dessin de Wikipédia : )

En faisant tendre le rayon vers l'infini, l'intégrale sur le demi-cercle tend vers 0, grâce aux conditions sur le degré, et l'intégrale sur le diamètre tend vers ce qu'on l'on recherche.

Une fois ceci justifié, il n'y a plus qu'à calculer les résidus de f dans le demi-plan supérieur.

Soient p et n entiers tels que n < p et F = X²ⁿ/(X^2p +1)
.L'application f de dans qui à t réel associr F(t) est continue , paire et comme vers + f(t) 1/t^2(p-n) elle est intégrable sur . On veut "calculer" A = f  (càd ici retrouver un "jolie" formule déjà trouvée par d'autres bien avant) .

.Si on pose a = exp(i/2p) , et b_k = a^2k-1 pour 1 k 2p , l'ensemble P des pôles de F est { b_k | 1 k 2p }
On a donc F = ₁^2p c_k/(X-a^2k-1) où c_k = (1/2p)(b_k)^2n-2p+1

.Posons alors = \ P et pour z g(z) = z²ⁿ/(z^2p +1) . est ouvert et g est holomorphe de dans . On va l'intégrer sur un "contour"

.choix des contours d'intégration: Pour r réel > 1 on va prendre la réunion du segment  [-r , +r] de et du demi-cercle supérieur de rayon r de , le tout parcouru dans le sens positif !!!
Cela veut dire que l'on pose C₁ = {1} [-r , +r] , C₂ = {2}[0 ,  ] , C = C₁ C₂ , (1,t) = t pour -r t r , () = rexp(i) pour 0

L'intégrale de g sur ce "contour" notée _Cg(z)dz ou g o est J(r) = J₁(r) + J₂(r) où J₁(r)= _[-r,r]g(t)dt et J₂(r) = _[0,]g(r.exp(i)i.r.exp(i)d .
Le théorème (dit des résidus) affirme que J(r) est égal à la somme des c_k(les résidus de g) qui sont à "l'intérieur" du contour càd qui vérifient Im(c_k) > 0.

.La majoration |g(r.exp(i)| r²ⁿ/(r^2p - 1) founit |J₂(r)| r¹⁺²ⁿ/(r^2p - 1) qui tend vers 0 quand r tend vers + .
.J₁(r) tend vers donc...

à toi de calculer

Comme deg(1+x^2p) >= deg(x^2n)+2, on peut appliquer le théorème des résidus pour le type 2,