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Théorème des résidus : preuve
Posté par Kernelpanic
Bonjour,
en relisant mon cours d'analyse complexe, la preuve du théorème des résidus me laisse perplexe (je n'avais pas percuté pendant le confinement). Voici l'énoncé, et le début de la preuve jusqu'au point douteux (pour moi) :
"Soit un ouvert. Soit
un sous-ensemble fermé et discret de
. Soit
une fonction holomorphe. Soit
un cycle de U, homologiquement trivial dans U, tel que son support soit inclus dans U privé de Z. Alors :
"
Preuve :
Montrons déjà que est une somme finie. Pour cela, nous allons montrer que
pour tout
sauf éventuellement un nombre fini. Notons
la réunion des composantes connexes de
sur lesquelles l'indice par rapport à
est nul. Notons
la réunion des autres composantes
connexes de . Par définition de homologiquement trivial, on sait que
et donc que
. De plus, on sait aussi que l'unique composante connexe non-bornée de
est
incluse dans . En particulier, on en déduit que
est borné (...).
Je ne comprends pas pourquoi l'adhérence de V est bornée. Je sais que le support de Gamma l'est (car c'est un compact), mais il faudrait que les composantes connexes bornées soient en nombre finis pour que la phrase rouge soit vraie ; mais je n'ai aucune idée de comment le prouver dans un cadre aussi général qu'un cycle homologiquement trivial. Avez-vous des explications ?
Merci.
Bonsoir
si V est la réunion des composantes connexes dont l'indice n'est pas nul
et que l'unique composante connexe non bornée est d'indice nul (car incluse dans U_0)
Alors toutes les composantes connexes d'indice non nul sont bornées, et leur réunion V l'est aussi puisqu'il y a un nombre fini de composantes connexes (enfin je crois que c'est dit quelque part non ?)
quand je dis "qu'une composante connexe est d'un certain indice" je veux bien sûr dire que tous ses points sont de ce même indice, petit abus de langage
Bonjour Zormuche,
désolé de te répondre si tard, j'avais ma rentrée hier et j'ai bougé à droite et à gauche à cause d'une erreur administrative : trop crevé pour venir sur le forum hier.
Citation :
leur réunion V l'est aussi puisqu'il y a un nombre fini de composantes connexes (enfin je crois que c'est dit quelque part non ?)
leur réunion V l'est aussi puisqu'il y a un nombre fini de composantes connexes (enfin je crois que c'est dit quelque part non ?)
non ce n'est dit nul part, et ça ne me paraît pas simple à démontrer (le cas où le cycle est un lacet de Jordan est déjà hard à montrer alors bon...) ; mais on en a pas besoin ! J'ai trouvé la solution dans mon sommeil
. J'ai repensé à la preuve de l'existence et de l'unicité de la composante connexe non bornée !
Comme
où C est la composante connexe non bornée voulue. Comme l'indice est nul sur cette composante connexe, on sait alors que tout point de V est dans la boule fermée et ainsi l'adhérence de V est bornée !
Pour parler d'autre chose, je crois me souvenir que tu voulais te rediriger vers une école, tu as trouvé quelque chose ?