Bonjour,

en relisant mon cours d'analyse complexe, la preuve du théorème des résidus me laisse perplexe (je n'avais pas percuté pendant le confinement). Voici l'énoncé, et le début de la preuve jusqu'au point douteux (pour moi) :

"Soit un ouvert. Soit un sous-ensemble fermé et discret de . Soit une fonction holomorphe. Soit un cycle de U, homologiquement trivial dans U, tel que son support soit inclus dans U privé de Z. Alors :

"

Preuve :

Montrons déjà que est une somme finie. Pour cela, nous allons montrer que pour tout sauf éventuellement un nombre fini. Notons la réunion des composantes connexes de

sur lesquelles l'indice par rapport à est nul. Notons la réunion des autres composantes

connexes de . Par définition de homologiquement trivial, on sait que et donc que

. De plus, on sait aussi que l'unique composante connexe non-bornée de est

incluse dans . En particulier, on en déduit que est borné (...).


Je ne comprends pas pourquoi l'adhérence de V est bornée. Je sais que le support de Gamma l'est (car c'est un compact), mais il faudrait que les composantes connexes bornées soient en nombre finis pour que la phrase rouge soit vraie ; mais je n'ai aucune idée de comment le prouver dans un cadre aussi général qu'un cycle homologiquement trivial. Avez-vous des explications ?

Merci.