Niveau maths spé

Théorème fondamental de l'analyse version complexe

Posté par
Serbiwni 24-10-21 à 15:08

Si $f : U \to C$ est holomorphe alors si $\gamma : [0, 1] \to U$ est un chemin de $w$ à $z$ , alors

$\int_\gamma f'(z)dz =f(z) - f(w)$

La preuve qui nous ai donnée mentionne simplement que cela découle directement de la très célèbre version réelle du théorème. Nous avons défini une intégrale complexe sur un chemin $\gamma$ comme partout par $\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt$ . En essayant donc de vérifier les propos de la preuve, je bloque car cela ne découle pas vraiment de la version réelle. J'ai la chose suivante :

$\int_\gamma f'(z)dz = \int_0^1 f'(\gamma(t)) \gamma '(t)dt = \int_0^1 (f\circ \gamma)'(t)dt$

On serait à présent tentés de conclure par la version réelle du théorème mais la composition $(f\circ \gamma)$ est une fonction de $\Bbb R \to \Bbb C$ .

Comment puis-je conclure alors ?

Posté par re : Théorème fondamental de l'analyse version complexe 24-10-21 à 15:23

salut

Serbiwni @ 24-10-2021 à 15:08

Si $f : U \to C$ est holomorphe alors si $\gamma : [0, 1] \to U$ est un chemin de $w$ à $z$ , alors

$\int_\gamma f'(z)dz =f(z) - f(w)$

un z en borne de l'intégrale et comme variable muette ... ça pose pb ...

si f est holomorphe alors f = g + ih et f' = g' + ih'

$\int_u^v f'(z)dz = \int_?^? g'(t)dt + i\int_?^? h'(t)dt = [g(t)]_?^? + i [h(t)]_?^? = [f(z)]_u^v = f(v) - f(u)$

Posté par re : Théorème fondamental de l'analyse version complexe 24-10-21 à 15:32

Effectivement j'aurais du choisir un meilleur nom d'intégrand, merci pour votre réponse !

Posté par re : Théorème fondamental de l'analyse version complexe 24-10-21 à 16:41

Bonjour,

La dernière ligne écrite par carpediem n'est pas correcte.
Pour $\gamma$ de $u$ à $v$ , corriger en

$\begin{aligned}\int_{\gamma } f'(z)\,dz &= \int_0^1 (f\circ \gamma)'(t)\,dt = \int_0^1 (g\circ \gamma)'(t)\,dt +i \int_0^1 (h\circ \gamma)'(t)\,dt\\ &= g(\gamma(1))-g(\gamma(0)) +i(h(\gamma(1)) - h(\gamma(0))) =f(v)-f(u). \end{aligned}$

Posté par re : Théorème fondamental de l'analyse version complexe 24-10-21 à 18:06

merci GBZM : oui j'ai écrit dans les grandes lignes ...

j'aurai du (et je devais) intégrer (c'est le cas de le dire ) le chemin dans mes expressions ...

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