Niveau Maths sup

Théorème suite

Posté par Ramanujan 11-10-18 à 23:34

Bonsoir,

Dans mon cours j'ai comme théorème :

$(u_n)$ converge vers $l$ <=> toute suite extraite converge vers $l$

Le théorème ci-dessous est-il à connaitre par cœur ? Je ne l'ai pas dans mon livre MPSI... Je l'ai croisé dans un corrigé du capes il est utilisé sans démonstration.

Une suite $(u_n)$ est convergence si et seulement si les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont convergentes et ont la même limite.

Posté par re : Théorème suite 12-10-18 à 08:25

Ce n'est pas la première (euphémisme !) fois que tu poses cette question, y compris sur un autre forum.

On a abondamment répondu sur les deux fora en te faisant remarquer, entre autres, qu'une suite est suite extraite d'elle même et que ton "théorème" est d'une banalité affligeante.

Si à chaque corrigé que tu essaies de lire tu reviens poser les mêmes questions tu n'avanceras pas beaucoup et il te faudra trouver de nouveaux répondeurs !
Je sais bien que "apprendre" c'est "apprendre et oublier 7 fois" mais faut quand même pas exagérer !

Posté par re : Théorème suite 12-10-18 à 11:13

J'ai jamais posé cette question sur ce forum ou ailleurs.

Suite extraite d'elle même ? De quoi parlez vous ?

Le théorème que j'ai part de "toute suite extraite converge vers l"

Ici on a 2 suites extraites qui convergent vers la même limite $u_{2n}$ et $u_{2n+1}$ mais on a pas forcément "toute suite extraite"

Posté par re : Théorème suite 12-10-18 à 11:16

Luzak

Prenez pas en compte le 1er théorème faux de mon livre rempli de bêtises je parlais de ce théorème ci-dessous :

Une suite $(u_n)$ est convergence si et seulement si les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont convergentes et ont la même limite.

Est-il a connaitre ?

Posté par re : Théorème suite 12-10-18 à 11:21

Quil soit a connaitre ou non il est "logique"

Sais tu le demontrer?

Posté par re : Théorème suite 12-10-18 à 11:58

Salut Lionel.

Si une suite est convergente est a pour limite l alors toute suite extraite converge et a pour limite l. La première implication est vérifie.

Il faut montrer la deuxième implication :

Supposons que les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont convergentes vers une limite $l$ .

Soit $\varepsilon >0$

Il existe un rang $N_1$   tel que :

$p \geq N_1 \Rightarrow 2p \geq N_1  \Rightarrow |u_{2p}-l| \leq \varepsilon$

Il existe un rang $N_2$   tel que :

$p \geq N_2 \Rightarrow 2p+1 \geq N_2  \Rightarrow |u_{2p+1}-l| \leq \varepsilon$

Prenons : $N=\max \{N_1,N_2 \}$

Si n pair : $n=2p$

$n \geq N  \Rightarrow |u_{n}-l| \leq \varepsilon$

Si n impair : $n=2p+1$

$n \geq N  \Rightarrow |u_{n}-l| \leq \varepsilon$

Dans tous les cas on a :

$n \geq N  \Rightarrow |u_{n}-l| \leq \varepsilon$

Posté par re : Théorème suite 12-10-18 à 12:07

Oui tu vois la démo est simple et le resultat va rester dans ta tete. Ca sert à rien de poser des questions sur tout et nimporte quoi essaie de chercher les choses un peu de ton coté

Posté par re : Théorème suite 12-10-18 à 13:14

Citation :
Prenez pas en compte le 1er théorème faux de mon livre rempli de bêtises ...

Faux, ce théorème ?

Citation :
Dans mon cours j'ai comme théorème :
$(u_n)$ converge vers $\ell$ <=> toute suite extraite converge vers $\ell$

Pas du tout ! Il est parfaitement correct et, même si ta mémoire flanche, je SAIS qu'on a déjà répondu à cette question!
Par exemple, en restant sur ce forum, sans chercher les réponses à medhi-128 (mais je pourrais, si tu continues à nier l'évidence) :

Suite extraite

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