Bonsoir les amis s'il vous plaît est ce que quelqu'un peut m'expliquer pourquoi l'inègalité large est exigible dans le thm du point fixe si possible un contre exemple merci d'avance
Bonsoir 10000007.
Tu peux nous dire de quel théorème de point fixe tu parles ? Et nous l'écrire ... merci bcp !
Ok donc soit (E ,d) un espace métrique complet et une application f de E E tq
k€]0,1[ (x,y)€E^2 d(f(x),d(f(y))k d(x,y)
Il existe un unique x de E tq f(x)=x
Ici, l'inégalité large n'est pas exigible.
Si tu prends k' tel que k < k' < 1 alors l'inégalité devient stricte (même si elle peut encore s'écrire de façon large) et la conclusion est la même.
Inversement, si l'égalité est stricte pour un certain k ]0;1[ alors il est bien évident que tu peux la changer en une inégalité large pour le même k sans changer la conclusion.
On se moque donc bien que l'inégalité soit large ou stricte.
En revanche, il est hors de question de prendre k = 0 ou k 1.
Pour k = 1, prendre pour contre-exemple l'application f de dans muni de sa distance usuelle et telle que f(x) = x + 1.
Cette application vérifie |f(x) - f(y)| = |x-y| et ne possède pas de point fixe.
Mieux encore, tu peux considérer une fonction g possédant les caractéristiques suivantes :
- continue.
- strictement convexe.
- strictement croissante.
- limite nulle en -.
- g(x) > x
- Lim (g(x) - x) = 0 en +
Alors elle vérifie |g(x) - g(y)| < |x-y| et pour aucun k ]0;1[ elle ne vérifiera |g(x) - g(y)| < k.|x-y| pour tout x,y . Elle n'a pas de point fixe.
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