Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Topologie de R^{d_1}×R^{d_2}, l'espace produit

Posté par
toureissa 13-11-18 à 13:30

Bonjour,

J'aimerais savoir si mes démonstration sont correct.

Énoncé :

Soient   $X=\R^{d_1}$ , $Y=\R^{d_2}$ et $||.||_1$ et $||.||_2$ , les normes euclidiennes correspondantes.

1. Expliquez pourquoi X×Y est un espace vectoriel. Explicitez les opérations de l'espace.

2. Pour $z=(x,y)\in X×Y$ ,  on considère

$||z||=max{||x||_1, ||y||_2},$

Montrer que  ||.|| ainsi définie est une norme.

3. Supposons   $A\subset X$ et $B\subset Y$ .

Démontrer que A×B est un ouvert (fermé) si et seulement si A,B sont ouverts (fermés).

Voici mes reponses.

1. (facile)
2.(facile)

3.  (A,B ouverts $\Leftrightarrow$ A×B est un ouvert) ?

• (A×B ouvert $\Rightarrow$ A, B ouvert ) ?

hypothèse : A×B est un ouvert.

But : Montrer que A et B sont ouverts.

Soient $y\in A$ et $z\in B$ .

Posons $x=(y,z)\in A×B$
, alors il existe $r_x>0$ tel que :

$B(x,r_x)\subset A×B$ , car A×B est un ouvert par hypothèse.

je vais montrer que $B(y,r_x)\subset A$ et $B(z,r_x)\subset B$ et si c'est fait,  la démonstration est terminé.

Pour cela , soit $(a,b)\in B(y,r_x)×B(z,r_x)$ , on a:

$||y-a||_1<r_x$ et $||z-b||_2<r_x$ .

De ces deux , on en déduit :

$max\{||y-a||_1, ||z-a||_2\} <r_x$ ,

Soit:

$||x-(a,b)||<r_x$

C'est-à-dire :

$(a,b)\in B(x,r_x)$ .

(a,b) étant un élément de $B(y,r_x)×B(z,r_x)$ et on a montrer que $(a,b)\in B(x,r_x)$ .

Donc $B(y,r_x)×B(z,r_x)\subset B(x,r_x)\subset A×B$ .

Donc :

$B(y,r_x)×B(z,r_x)\subset A×B$

Soit :

$B(y,r_x)\subset A\;\textup{et}\; B(z,r_x)\subset B$

d'où A et B sont ouverts.

• (A,B ouverts $\rightarrow$ A×B ouvert)?

hypothèse : A et B sont des ouverts.

But: Montrer que A×B est un ouvert.

Soit $z=(x,y)\in A×B$ , on cherche r>0, tel que :

$B(z,r)\subset A×B.$

Comme $x\in A$ et A est ouvert, il existe $r_x>0$ , tel que :

$B(x,r_x)\subset A$ .

De même il existe $r_y>0,$ tel que :

$B(y,r_y)\subset B$ .

Posons $r=min\{r_x,r_y\}$

On a :

$B(x,r)\subset B(x,r_x)\subset A$ , et

$B(y,r)\subset B(y,r_y)\subset B$

D'où :

$B(x,r)×B(y,r) \subset A×B.$

Soit   $c=(a,b)\in B(z,r)$

Ona $||z-c||<r$ ,

C'est-à-dire :

$max\{||x-a||_1, ||y-b||_2 \}<r$

Par conséquent:

$||x-a||_1<r$ et $||y-b||_2<r$ ,

qui signifie :

$a\in B(x,r)$ et $b\in B(y,r_y)$

Soit:

$c=(a,b)\in B(x,r)×B(y,r)$ ,

Ainsi :

$B(z,r)\subset B(x,r)×B(y,r)\subset A×B$

Donc :

$B(z,r)\subset A×B$

D'où A×B est un ouvert.

Ainsi : (A,B ouverts $\rightarrow$ A×B ouvert).

Conclusion : A×B est ouvert si et seulement si A ,B sont ouverts.

le passage au complémentaire termine le cas des fermés, car:

$\bar{A×B}=\bar{A}×\bar{B}$ .

Donc si A×B est fermé sont complémentaire est ouvert , soit le produit des complémentaire de A et B est ouvert qui d'après la démonstration précédente montre que le complémentaire de A et de B sont ouverts , donc A et B sont fermés .

Et pour la réciproque aussi on trouve facilement que A×B est fermé.

Posté par re : Topologie de R^{d_1}×R^{d_2}, l'espace produit 13-11-18 à 14:58

Bonjour !
La lecture de tes démonstrations est pénible !
1. Pas entièrement de ta faute ! Mais quelle drôle d'idée de noter $\lVert.\rVert_1$ une norme euclidienne ?
C'était si difficile (pour l'auteur de l'énoncé) de noter $X_k$ (et non pas $X,Y$ ) l'espace $\R^{d_k}$ et $\nu_k$ sa norme euclidienne ?
2. Par contre c'est de ta faute de renchérir dans le manque de jugeote de notations !

Baptiser $B(x,r_x)\subset A×B$ une boule ouverte de l'espace produit ET écrire $B(y,r_x)\subset A$ et $B(z,r_x)\subset B$ ce qui suppose implicitement que tu utilises la même notation pour les boules de chaque espace c'est chercher à noyer le lecteur ! tu y as presque réussi !

Disons que pour cette première implication $A,B \text{ ouverts }\implies A\times B\text{ ouvert }$ c'est à peu près ça mais tu devrais proposer des notations plus cohérentes.

Posté par re : Topologie de R^{d_1}×R^{d_2}, l'espace produit 13-11-18 à 15:57

   Bonjour !
       Le fait que X et Y soient des ⁿ complique inutilement  les notations  .

Le problème : Si (E , p) et (F ,q) sont des -evn on fabrique G : = EF  (c'est un -ev ) et N : (x,y) Max(p(x),q(y) .
N est une norme sur G

Reste à voir que si A E et B F alors A B est un ouvert de G ssi A et B sont ouverts .

On peut le faire en   montrant que  si W est un ouvert de G alors  sa  projection  canonique U dans E  est un ouvert de E ( et de même pour sa  projection  canonique V dans G ) .

=

Posté par re : Topologie de R^{d_1}×R^{d_2}, l'espace produit 14-11-18 à 11:06

Bonjour,

Citation :
On peut le faire en montrant que si W est un ouvert de G alors sa projection canonique U dans E est un ouvert de E ( et de même pour sa projection canonique V dans G ) .

pouvez-vous m'expliquez bien ?

Posté par re : Topologie de R^{d_1}×R^{d_2}, l'espace produit 14-11-18 à 19:04

je désigne par la projection canonique de G sur E .

Pour " voir  " ce que je raconte , fais toi un dessin où
    ..E et F sont des droites perpendiculaires  ,
    ..les boules dans ces droites sont des intervalles et
    .., dans G , les boules sont des carrés aux côtés oarallèles aux droites  ( tout ça  pour coller à ton exo)   .

    Soient W un ouvert de G et a   U := (W)  .
Il existe donc au moins un élément  b F tel que (a,b) W .
W étant un voisinage de (a,b) contient une boule ouverte  ( pour la norme N)  de centre (a,b)  et de rayon  > 0 ;  donc si p(a,s) < r et q(b,t) < r on a (s,t) W .
La boule ouverte ( dans E)   de centre a et de rayon r  est donc contenue dans (U)(  puisque si p(a,x) < r   on a :   x = (x,b) et (x,b) W) .

Posté par re : Topologie de R^{d_1}×R^{d_2}, l'espace produit 14-11-18 à 19:10

En fait( pour généraliser ) :
Soient X et Y des topologiques . Sur XY on définit la topologie produit dont les ouverts sont les réunions (quelconques) de "rectangles ouverts " AB ( A ouvert de X et B ouvert de Y ) .
La projection canonique f de XY sur X est à la fois "ouverte" ( càd que l'image par f d'un ouvert de XY est un ouvert de X ) et continue .

Posté par re : Topologie de R^{d_1}×R^{d_2}, l'espace produit 15-11-18 à 13:00

Bonjour,

Merci beaucoup etniopal j'ai très bien compris !

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