Bonjour,
J'aimerais savoir si mes démonstration sont correct.
Énoncé :
Soient , et et , les normes euclidiennes correspondantes.
1. Expliquez pourquoi X×Y est un espace vectoriel. Explicitez les opérations de l'espace.
2. Pour , on considère
Montrer que ||.|| ainsi définie est une norme.
3. Supposons et .
Démontrer que A×B est un ouvert (fermé) si et seulement si A,B sont ouverts (fermés).
Voici mes reponses.
1. (facile)
2.(facile)
3. (A,B ouverts A×B est un ouvert) ?
• (A×B ouvert A, B ouvert ) ?
hypothèse : A×B est un ouvert.
But : Montrer que A et B sont ouverts.
Soient et .
Posons
, alors il existe tel que :
, car A×B est un ouvert par hypothèse.
je vais montrer que et et si c'est fait, la démonstration est terminé.
Pour cela , soit , on a:
et .
De ces deux , on en déduit :
,
Soit:
C'est-à-dire :
.
(a,b) étant un élément de et on a montrer que .
Donc .
Donc :
Soit :
d'où A et B sont ouverts.
• (A,B ouverts A×B ouvert)?
hypothèse : A et B sont des ouverts.
But: Montrer que A×B est un ouvert.
Soit , on cherche r>0, tel que :
Comme et A est ouvert, il existe , tel que :
.
De même il existe tel que :
.
Posons
On a :
, et
D'où :
Soit
Ona ,
C'est-à-dire :
Par conséquent:
et ,
qui signifie :
et
Soit:
,
Ainsi :
Donc :
D'où A×B est un ouvert.
Ainsi : (A,B ouverts A×B ouvert).
Conclusion : A×B est ouvert si et seulement si A ,B sont ouverts.
le passage au complémentaire termine le cas des fermés, car:
.
Donc si A×B est fermé sont complémentaire est ouvert , soit le produit des complémentaire de A et B est ouvert qui d'après la démonstration précédente montre que le complémentaire de A et de B sont ouverts , donc A et B sont fermés .
Et pour la réciproque aussi on trouve facilement que A×B est fermé.
Bonjour !
La lecture de tes démonstrations est pénible !
1. Pas entièrement de ta faute ! Mais quelle drôle d'idée de noter une norme euclidienne ?
C'était si difficile (pour l'auteur de l'énoncé) de noter (et non pas ) l'espace et sa norme euclidienne ?
2. Par contre c'est de ta faute de renchérir dans le manque de jugeote de notations !
Baptiser une boule ouverte de l'espace produit ET écrire et ce qui suppose implicitement que tu utilises la même notation pour les boules de chaque espace c'est chercher à noyer le lecteur ! tu y as presque réussi !
Disons que pour cette première implication c'est à peu près ça mais tu devrais proposer des notations plus cohérentes.
Bonjour !
Le fait que X et Y soient des n complique inutilement les notations .
Le problème : Si (E , p) et (F ,q) sont des -evn on fabrique G : = EF (c'est un -ev ) et N : (x,y) Max(p(x),q(y) .
N est une norme sur G
Reste à voir que si A E et B F alors A B est un ouvert de G ssi A et B sont ouverts .
On peut le faire en montrant que si W est un ouvert de G alors sa projection canonique U dans E est un ouvert de E ( et de même pour sa projection canonique V dans G ) .
=
Bonjour,
je désigne par la projection canonique de G sur E .
Pour " voir " ce que je raconte , fais toi un dessin où
..E et F sont des droites perpendiculaires ,
..les boules dans ces droites sont des intervalles et
.., dans G , les boules sont des carrés aux côtés oarallèles aux droites ( tout ça pour coller à ton exo) .
Soient W un ouvert de G et a U := (W) .
Il existe donc au moins un élément b F tel que (a,b) W .
W étant un voisinage de (a,b) contient une boule ouverte ( pour la norme N) de centre (a,b) et de rayon > 0 ; donc si p(a,s) < r et q(b,t) < r on a (s,t) W .
La boule ouverte ( dans E) de centre a et de rayon r est donc contenue dans (U)( puisque si p(a,x) < r on a : x = (x,b) et (x,b) W) .
En fait( pour généraliser ) :
Soient X et Y des topologiques . Sur XY on définit la topologie produit dont les ouverts sont les réunions (quelconques) de "rectangles ouverts " AB ( A ouvert de X et B ouvert de Y ) .
La projection canonique f de XY sur X est à la fois "ouverte" ( càd que l'image par f d'un ouvert de XY est un ouvert de X ) et continue .
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