Salut a tous, pour mes révision je refais cet exo pas bien compliqué mais je ne suis pas très bien la correction qui est donnée :
Voila l'énoncé :
a, b deux réels, b non nul, tels que a/b n'appartient pas à Q (rationnel) : par exemple a=1 et b=racine(2)
Soit G={a*m+b*n / (m, n) appartenant à Z}
Montrer que G est dense dans R (réel).
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Dans la correction : voila ce qu'il met :
G est un sous-groupe de (R,+)
(ça d'accord, je peux le prouver)
Mq G est dans dans R :
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Si G n'est pas dense dans R :
On a b appartenant à G (je ne vois pas ce que la ligne du dessus implique dans celle ci)
et il existe un réel c>0 tel que G=cZ (Z les relatifs)
comme a et b appartiennent à G (évident avec m=1 et n=1),
il existe p0 tel que a=p0*c et q0 tel que b=q0*c (q0 et p0 appartiennent à Z)
donc a/b=p0/q0 mais q0 et p0 étant des relatifs, on a a/b appartenant à Q (rationnels) : d'où contradiction
Donc G dense dans R.
Je ne vois pas en quoi l'hypothèse contraire qu'il prend pour son raisonnement par l'absurde influe sur la suite du raisonnement :S
Merci de m'éclairer un peu
mais la il prend cette hypothèse après avoir dit 'G n'est pas dense dans R'
Oui je me suis trompé.
C'est justement parce que G n'est pas dense dans R, qu'il existe c>0 tel que G=cZ.
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