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Topologie, Graphe d'une fonction

Posté par
H_aldnoer 06-05-07 à 17:41

Soient X et Y deux espaces métriques.
L'espace X\times Y, muni d'une distance classique de l'espace produit, est un espace métrique.
Pour toute application f:X\to Y, on définit G(f) le graphe de f :
G(f)=\{(x,f(x))\,,x\in X\}

1/ Montrer que G(f) est fermé dans X\times Y \Leftrightarrow toute suite (x_n)\in X convergente dans X et telle que (f(x_n)) est convergente dans Y et on a : \lim_{n\to+\infty}\,f(x_n)=f(\lim_{n\to+\infty}\,x_n)
2/ Montrer que si f continue sur X alors G(f) est fermé dans X\times Y
3/ Supposons que Y est un espace métrique compact et que G(f) est fermé dans X\times Y. Montrer que f est continue en utilisant le résultat suivant :

Citation :
Soit E un Banach et I l'application identité sur E : I-T est un isomorphisme de E sur lui-même.

(voir ici Normes sur L(E), question 5/)
4/ Soit X=[0,1], muni de la distance usuelle et Y=[0,1], muni de la distance discrète. Soit f:X\to Y l'application identité.
-Quel est le graphe de f ?
-G(f) est-il fermé ?
-f est-elle continue ?
-Y est-il compact ?

Voila ce que j'ai commencé :
1/ Si G(f) fermé, toute suite convergente dans X\times Y admet une limite encore dans X\times Y.
Soit x_n\in G(f) telle que \lim_{n\to +\infty}\,x_n=x\in G(f).
Alors x_n\in \{(x_n,f(x_n))\,,x_n\in X\} et x\in \{(x,f(x))\,,x\in X\}.
Or x_n\longrightarrow_{n\to +\infty} x, donc f(x_n)\longrightarrow_{n\to +\infty} f(x) (cad f continue).

Maintenant si on a f continue, cad que pour x_n\longrightarrow_{n\to +\infty} x on a  f(x_n)\longrightarrow_{n\to +\infty} f(x) (cad f continue) on a clairement G(f) fermé.

2/ Je vois pas.
3/ Il me semble que f n'est pas continue, mais je ne vois pas comment tracer son graphe.

Posté par
H_aldnoerre : Topologie, Graphe d'une fonction 06-05-07 à 17:44

Oups désolé, validé trop vite.
Bonjour à tous, et merci d'avance pour votre aide.
Je voulais rajouter que je sais pas pourquoi on doit utiliser dans le 3/ ce résultat démontrer précédemment.

Posté par
robby3re : Topologie, Graphe d'une fonction 06-05-07 à 19:04

le probleme c'est que tu utilises 2) pour 1)

Posté par
robby3re : Topologie, Graphe d'une fonction 06-05-07 à 19:10

non oublie j'ai mal lu!

Posté par
fusionfroidere : Topologie, Graphe d'une fonction 06-05-07 à 19:11

Salut robby !

Bientôt les partiels aussi ?

Posté par
H_aldnoerre : Topologie, Graphe d'une fonction 06-05-07 à 19:19

les partiels à ça commence mercredi!
Sinon quelqu'un pour m'aider ?

Posté par
robby3re : Topologie, Graphe d'une fonction 06-05-07 à 19:19

Salut Fusionfroide!
Mercredi meme avec la topo!

Posté par
robby3re : Topologie, Graphe d'une fonction 06-05-07 à 19:31

2) f continue donc soit (xn) une suite de X convergente vers x:

f(xn)->f(x)
xn->x

donc Gr(f(xn))={(xn,f(xn)} ->Gr(f(x))...
sauf erreur

Posté par
H_aldnoerre : Topologie, Graphe d'une fonction 07-05-07 à 10:07

Une idée pour la suite ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Topologie, Graphe d'une fonction 07-05-07 à 14:48

Bonjour

2) Le plus simple: Soit F:XYYY définie par F(x,y)=(f(x),y) et soit Y={(y,y)| yY}. Alors il est clair que F est continue, que Y est fermé dans Y et que G(f)=F-1(Y)

3) Soit x un point de X et (xn) une suite qui tend vers x. On veut montrer que f(xn) tend vers f(x). Comme Y est compact, on peut extraire une suite convergente f(xm) de la suite f(xn). Soit y la limite de celle-ci. Alors (xm,f(xm)) est une suite de G(f) qui converge vers (x,y). Comme G(f) est fermé cette limite est dans G(f) donc y=f(x). Ceci montre que toute suite extraite de f(xn) converge vers f(x), donc la suite f(xn) converge vers f(x).

Je sais; je ne me suis pas conformée au sacro-saintes "consignes"... mais je donne une solution!

Posté par
H_aldnoerre : Topologie, Graphe d'une fonction 07-05-07 à 14:50

Bonjour Camélia, peut tu jeter un oeil à ce que j'ai fait dans le 1) ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Topologie, Graphe d'une fonction 07-05-07 à 14:57

Oui, j'avais lu et le concept est juste. En revanche, sur la rédaction, ce n'est pas tout-à-fait ça.
Tu ne peux pas écrire aG(f) car G(f) est formé de couples. Une bonne rédaction est du genre, si (xn,yn) est une suite de G(f) qui tend vers (x,y), on a yn=f(xn) (def de G(f)) et, comme f est continue f(xn) tend vers f(x) donc y=f(x) et alors (x,y)G(f) ce qui montre qu'il est fermé. (Tu arranges ça un peu, mais c'est l'idée)

Posté par
H_aldnoerre : Topologie, Graphe d'une fonction 07-05-07 à 15:01

Ok j'ai meiux compris.
Seulement, on raisonne par équivalence directement ? Car la tu montre l'implication \Leftarrow non ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Topologie, Graphe d'une fonction 07-05-07 à 15:12

Excuse-moi je me suis embrouillée dans les questions. Dans celle-ci on ne doit pas parler de continuité.
Ce qu'il faut: G(f) fermé (si (xn,yn) de G(f) converge vers (x,y), alors (x,y)G(f))(si (xn,f(xn) converge vers (x,y) alors y=f(x))

Posté par
Camélia Correcteurre : Topologie, Graphe d'une fonction 07-05-07 à 15:15

Là je dois m'en aller, mais je pense que tu peux t'en tirer maintenant.

A bientôt!


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