C'est dans un cours de calcul différentiel? Si oui, tu commebces par calculer la différentielle du déterminant au point en utilisant le fait que c'est une application linéaire, ou en bricolant un peu

Bonjour,

L'on peut remarquer que . Il reste à voir le rapport qui existe entre le dernier terme et un certain polynôme caractéristique.

Avec tout mon respect,

T. Poma

Bonjour

Il ne s'agit pas d'un cours de calcul différentiel mais d'algèbre linéaire, de trace/déterminant, et de diagonalisation donc Camélia je ne pense pas qu'il faille partir vers là.
Thierry Poma, je comprends votre égalité mais je ne vois pas où est-ce qu'elle pourrait mener.

Rebonjour,

Sais-tu ce qu'est le polynôme caractéristique d'une matrice carrée d'ordre (pour le cas qui nous préoccupe !) ?

Si tel est le cas, tu auras soin de remarquer que :



où est le polynôme caractéristique de la matrice .

Avec tout mon respect,

T. Poma

Bon, tu n'as pas dit où sont les coefficients. Si c'est complexe, tu peux toujours trianguler , ça vient tout seul pour une matrice triangulaire.

Errata : Lire :



où est le polynôme caractéristique de la matrice .

La méthode proposée par Camélia est cependant plus simple.

T. P.

Les coefficients sont réels malheureusement, mais je ne sais pas si cela m'empêche de diagonaliser, je vais approfondir.
J'ai creusé la méthode de Thierry et j'obtiens :

det(I_n+tA) = (-1)ⁿ tⁿ X_-A(t^-1)

               = (-1)ⁿ tⁿ [(-1)ⁿ(t^-1)ⁿ + (-1)^n-1 Tr(-A) (t^-1)^n-1 + ... + det(-A)]

En dérivant et en prenant ensuite t=0 on doit retomber sur la trace de A.
Alors je dérive brutalement ou il y a plus subtil ?

Ça marche presque mais je me suis probablement planté dans mon calcul de dérivée, je trouve :

P'(t) = (-1)ⁿ n t^n-1 * [ce que j'avais mis entre crochets plus haut] + (-1)ⁿ tⁿ * [la dérivée du crochet, degré n-1 donc]

Ainsi, j'obtiens :

P'(t) = (-1)^2n-1 n Tr(-A) + des termes en tⁿ au minimum

P'(0) = -n Tr(-A) = n Tr(A)

Or je n'étais pas sensé obtenir P'(0)=n Tr(A) mais P'(0)=Tr(A)

Tu utiliseras ma rectif du 08-11-12 à 16:30.

Sinon, en fonction de ton message du 08-11-12 à 17:01 (je n'ai pas vérifié !), tu développes le tout, tu utilises le fait que et tu dérives. Finalement, tu devrais obtenir le résultat voulu.

Que donnerait la méthode de Camélia que tu pourra expérimenter dans ta deuxième question ?

T. P.

Non, non, pour la deuxième question, on commence par supposer B inversible et on se sert de 1) puis du fait que les inversibles sont denses dans

Pour la première question on peut toujours trianguler dans .

Mais le polynôme caractéristique devrait marcher

Camélia,

J'y avais pensé, mais si n'est pas inversible ?

Avec mon profond respect,

T. Poma

OK super c'est bon pour la question 1) j'ai refait le calcul et ça fonctionne
Je verrai pour la question 2), merci pour vos indications !

Merci Camélia et Thierry pour l'intérêt porté à mon égard ! Bonne continuation !

Voilà ce que je propose :
Soient K un corpscommutatif , n * ,  A M_n(K) et P = det(I + X.A) .
Pour U   M_n(K) je note U(p,q) l'émément de U situé au croisement de la p^ième ligne et la q^ième colonne .

On a : P = _sSn (s)B_s où B_s =  _p=1ⁿ (I(p,s(p)) + X.A(p,s(p)))
Si s est distincte de la permutation identique e de {1,...,n} , B_s est divisible par X² donc B_s'(0) = 0 et P '(0) =  B_e'(0).
Mais B_e = _p=1ⁿ (1 + X.A(p,p)) et donc B_e'/B_e = _q=1ⁿ A(p,p)  .

Comme B_e(0) = 1 on a P '(0) = B_e'(0) = Tr(A) .

Une correction : C'est B_e'/B_e = _p A(p,p)/(1 + XA(p,p)) que je voulais écrire.