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Trace, norme et matrice symétrique
Bonsoir à tous,
Exercice :
Pour A et B dans Mn(R), on définit (A|B) = Tr(tAB).
1- Montrer que (.|.) est un produit scalaire sur Mn(R). On note N(.) la norme associée.
2- Soit M
Sn+(R), montrer que N(M) 
Tr(M).
3- Soit MMn(R), montrer que tMMSn+(R)
Ce que j'ai fais :
1- pas compliqué, j'ai réussi à la faire sans difficulté donc je n'écrirai pas la démonstration car c'est assez long et pas nécessaire pour la suite des questions qui me pose problème. Donc de cette question on note seulement que N(.) est la norme associée
2- On a N(M) qui peut s'écrire comme ceci : N(M)= 
i
1j1 mi,j 2
Et Tr(M)= i1 mi,i
Mais du coup, il est évident que Tr(M) N(M)
Il y a forcément une erreur quelque part je le sais, d'autant plus que je n'ai pas utilisé le fait que M est symétrique mais je ne vois pas quelle propriété ou caractérisation de la matrice symétrique je peux utiliser ici.
Merci d'avance pour vos réponses!
Bonsoir.
On peut prendre un exemple simple :
On a alors
Donc et Tr(M)=a+d.
Je ne vois aucune raison permettant de dire que
On peut, par exemple prendre a=d=1/2 et b=c=0.
Bonjour,
Il faut écrire avec
orthogonale et
diagonale à coefficients diagonaux positifs.
On en déduit: .
Hello, quand tu auras diagonalisé ta matrice ça sera équivalent à montrer que :
avec les ai positis
Ce qui se voit facilement en passant au carré !
Bonjour verdurin !
Je crois que tu as "zappé" l'information cachée de l'énoncé (il aurait fallu une ) : l'inégalité est à établir pour les matrices symétriques positives !
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