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Niveau Licence Maths 1e ann
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Transformation complexe

Posté par
gbsatti 29-04-09 à 20:53

Bonjour,
J'essaye de trouver l'image de la droite x-y=0 par l'application z'=(z+1)/(z-1)
J'ai essayer de poser z=x+iy et ensuite j'ai séparer la partie imaginaire de la partie reel, ensuite comment faire pour trouver l'image par la droite ?

Merci par avance

Posté par
pgeodre : Transformation complexe 29-04-09 à 21:50


la droite y = x est définie par z = a + ai
avec a

...

Posté par
gbsattire : Transformation complexe 29-04-09 à 21:56

ah oui , je peux remplacer y par x dans mon expression ?

Posté par
pgeodre : Transformation complexe 29-04-09 à 22:01

bah oui. c'est ce qui permet de définir un z particulier
comme étant l'affixe d'un point quelconque de la droite.

...

Posté par
gbsattire : Transformation complexe 29-04-09 à 22:38

merci, et si j'ai l'equation x+y-3=0 je fais y=-x+3 et je remplace dans l'expression ?

Posté par
MatheuxMatoure : Transformation complexe 29-04-09 à 23:00

bonsoir,

oui !!! c'est comme qui dirait un peu le principe de ce qu'on appelle une équation de droite (ou d'autre chose d'ailleurs) !

Posté par
gbsattire : Transformation complexe 29-04-09 à 23:05

ça m'impressionne mais en même temps ça me réjouit qu'on puisse faire ça, car j'avais un contrôle sur ça hier et je l'ai fait comme ça à tout hazard .
Je pensais que c'était plus dur à faire que ça !

Posté par
MatheuxMatoure : Transformation complexe 29-04-09 à 23:07

tu es en licence de quoi ?

Posté par
gbsattire : Transformation complexe 29-04-09 à 23:07

math-informatique

Posté par
MatheuxMatoure : Transformation complexe 29-04-09 à 23:09



et c'est la première fois que tu manipules l'équation d'un ensemble (droite, cercle, parabole...etc...) ?

Posté par
gbsattire : Transformation complexe 29-04-09 à 23:11

pas du tout, c'est juste que j'ai des failles par ci par la ^^

Posté par
MatheuxMatoure : Transformation complexe 29-04-09 à 23:16

ah ben là c'est plus qu'une faille... pardon de le dire franchement... c'est une fosse océanique...

sincèrement : tu utilises depuis des années le fait qu'une droite a pour équation un truc du genre y=2x-3 sans savoir ce que cette égalité sous-tend ?

Posté par
gbsattire : Transformation complexe 29-04-09 à 23:17

en fait je suis un cursus spécial "math-renforcés", et le chapitre portait sur les inversions, donc ça m'impressionnait que ça ne soit pas en rapport avec des inversion

Posté par
MatheuxMatoure : Transformation complexe 29-04-09 à 23:20

mais tout est en rapport avec tout !

et les épisodes précédents sont tous utiles pour suivre en fac...

Posté par
gbsattire : Transformation complexe 29-04-09 à 23:21

Je prend note de ça
Merci

Posté par
MatheuxMatoure : Transformation complexe 29-04-09 à 23:30

pas de quoi...

je dis cela pour t'aider...

bonne fin de soirée...

MM

Posté par
gbsattire : Transformation complexe 29-04-09 à 23:31

tu as du mal comprendre, ce qui m'impressionnait ce n'était pas le fait que x+y-3=0 soit l'équation de la droite y=-x+3
mais le fait que dans mon expression
z'=(z+1)/(z-1)
en posant z=x+iy et en simplifant puis en remplaçant y par -x+3, ça me donnait l'image par l'application (ce qui est moin grave je pense )

Posté par
MatheuxMatoure : Transformation complexe 29-04-09 à 23:33

oui, je t'ai un peu taquiné ... mais c'est l'idée même d'une relation traduisant l'appartenance à un ensemble (ici une droite)... et il ne faut pas oublier de faire parcourir R à la variable x

Posté par
gbsattire : Transformation complexe 29-04-09 à 23:36

je comprend, tous les profs de math aiment taquiner

Posté par
MatheuxMatoure : Transformation complexe 29-04-09 à 23:38

oui... au concours il y a une épreuve de "taquinerie"... et ce n'est pas facultatif !

Posté par
gbsattire : Transformation complexe 29-04-09 à 23:38

et pas toujours gentillement

Posté par
gbsattire : Transformation complexe 29-04-09 à 23:39

ah bon ? quel concours l'agreg ?

Posté par
MatheuxMatoure : Transformation complexe 29-04-09 à 23:40

oh, il n'y a pas de méchanceté derrière cela...

mais cela fait souvent progresser l'étudiant de poser le doigt là où cela fait mal...

Posté par
gbsattire : Transformation complexe 29-04-09 à 23:42

oui bon pas toujours hein
je vais me coucher
bonne soirée

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Transformation complexe 29-04-09 à 23:44

Bonjour ;

En fait l'homographie 4$\fbox{f\;:\;\mathbb{C}-\{1\}\to\mathbb{C}-\{1\}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;z\to\frac{z+1}{z-1}} est la composée commutative

de la réflexion 4$\fbox{s\;:\;\mathbb{C}-\{1\}\to\mathbb{C}-\{1\}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;z\to\bar{z}}

et de l'inversion 4$\fbox{i\;:\;\mathbb{C}-\{1\}\to\mathbb{C}-\{1\}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;z\to\frac{\bar{z}+1}{\bar{z}-1}} de pôle le point d'affixe 1 et de puissance \sqrt2

f est en particulier involutive

et on peut géométriquement ou analytiquement montrer que l'image par f de la droite x-y=0

est le cercle de centre le point d'affixe -i et de rayon \sqrt2 privé du point d'affixe 1 sauf erreur bien entendu

Posté par
MatheuxMatoure : Transformation complexe 29-04-09 à 23:46

bonne nuit gbsatti !

MM

Posté par
gbsattire : Transformation complexe 29-04-09 à 23:48

merci elhor_abdelali pour cette précision,j'y jetterai un coup d'œil demain, la je suis très fatigué
a+

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Transformation complexe 29-04-09 à 23:52

5$OK !\;\; gbsatti

Posté par
gbsattire : Transformation complexe 30-04-09 à 20:40

resalut, j'ai trouver l'expression suivante comme image :
2x²-1/2x²-2x+1 - 2x*i/2x²-2x+1
comment ramener l'équation du cercle ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Transformation complexe 30-04-09 à 21:17

Analytiquement :

par involution on a 4$\fbox{\{{z=\frac{z^'+1}{z^'-1}=\frac{(z^'+1)(\bar{z^'}-1)}{|z^'-1|^2}=\frac{|z^'|^2-1-2iImz^'}{|z^'-1|^2}\\z^'\neq1}

et en posant 4$\fbox{z=x+iy\\z^'=x^'+iy^'} on voit que 6$\blue\fbox{x-y=0\;\Longleftrightarrow\;\{{x^'^2+y^'^2-1+2y^'=0\\(x^',y^')\neq(1,0)} sauf erreur bien entendu

Posté par
gbsattire : Transformation complexe 30-04-09 à 23:24

merci j'ai compris ta méthode, peux-tu m'expliquer pourquoi je trouve l'expression fausse
2x²-1/2x²-2x+1 - 2x*i/2x²-2x+1 comme image de la droite ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Transformation complexe 30-04-09 à 23:50

Elle n'est pas fausse mais plutôt inachevée car tu obtiens une paramétrisation de l'image 4$\fbox{\scr C\;:\;\{{x^'=\frac{2x^2-1}{2x^2-2x+1}\\y^'=\frac{-2x}{2x^2-2x+1}}\;,\;x\in\mathbb{R}}

et tu dois après déterminer la nature de la courbe paramétrée \scr C sauf erreur bien entendu

Posté par
gbsattire : Transformation complexe 30-04-09 à 23:52

cool merci beaucoup elhor_abdelali

Posté par
Tigweg Correcteurre : Transformation complexe 01-05-09 à 04:09

Bonsoir à tous

Citation :
oui... au concours il y a une épreuve de "taquinerie"... et ce n'est pas facultatif !


->

Ah ben si j'avais su, j'aurais fait un meilleur score!! Moi qui pensais qu'il fallait faire une leçon d'Algèbre!


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