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Niveau Maths sup
Transformation du plan complexe
Posté par Issa421
Bonjour,
Je suis un peu bloqué dans la 2ème partie d'un exercice.
Dans la 1ère partie j'ai réussi à montrer que :
- P1 (x) = {t 
Ke-xt} avec K dans 
.
- f'(t) + xf(t) = 0 avec f l'ensemble des fonctions appartenant à P1
Dans la 2ème partie on apprend que P2 est l'ensemble des fonctions v de 
telles que v''(t) + 
2 v(t) = 0.
Voici les questions :
1) On a v un élément de P2 et g la fonction avec telle que g(t) = v(t) e-it
Montrer que la dérivée de g appartient à P1(2i)
2) Trouver une primitive de g' puis en déduire une expression de g
3) En déduire que P2 = {tKeit + Le-it} avec K et L dans
4) Montrer aussi que P2 = {tKcos(t) + L sin(t)} avec K et L dans
5) On a A point mobile du plan d'affixe z(t) pour tout instant t. On a z0 dans . Le mouvement de A est supposé tel z soit dérivable deux fois et que ces conditions soient vérifiées :
- z''(t) = -2z(t)
- z(0) = z0
- z'(0) = -iz0
On cherche à trouver la fonction z sur en fonction de z0 et
6) Soit la transformation du plan 
t sur :
z0tz0 = z(t)
En fonction de t, trouver tous les points fixes de (t), c'est-à-dire l'ensemble des complexes z0 dans tel que t(z0) = z0
Je précise que je suis bloqué sur la 1ère question car je dérive g mais je ne sais pas comment trouver la dérivée de v.
Je pense que la 2ème question nécessite la réponse à la 1ère, du coup je suis aussi bloqué sur la suite....
Il me faudrait de l'aide pour me débloquer dans cet exo.
Merci d'avance.
Camélia @ 07-10-2018 à 15:40
Bonjour
On trouve la dérivée de
simplement en utilisant la dérivée d'un produit.
'=f'g+fg')
Bonjour
On trouve la dérivée de
Bonjour Camélia. v n'est pas un produit. g en est un. Mais on ne comprend pas bien ce que veut dire Issa421 par "je ne sais pas comment trouver la dérivée de v. " Il y a juste à écrire v' puis utiliser les propriétés et définitions.
Oui mais je n'ai pas d'expression de v ? En effet j'utilise cette formule pour dériver g mais une fois que j'ai dérivé g j'ai une expression de la forme g'(t)=v'(t)e-it+v(t)(-i)e-it et je ne sais pas comment me débarrasser de v'(t) ...
Merci d'avance, j'ai peur de ne pas voir une solution qui est sous mon nez ...
Je viens de voir ton message boninmi, mais que veux tu dire exactement par « propriétés et définitions » ? Tu parles de ça : v''(t) + 2v(t) = 0 ? Merci d'avance encore 
D'après ce que tu as vu précédemment, si tu poses f=g', tu dois montrer que
f'(t) + xf(t) = 0 pour x = ... et donc ...
J'ai essayé de résoudre f'(t) + xf(t) = 0 mais je n'y suis pas arrivé ... En fait je me suis rendu compte qu'il s'agissait d'une équation différentielle mais nous n'avons pas vu ça en cours et je ne pense pas que cela soit la manière attendue de résolution ... Donc est-ce qu'il n'y aurait pas une autre manière de résoudre ? Merci beaucoup d'avance pour toute aide !
Bonjour !
As-tu suivi le conseil de boninmi (que je salue au passage) ?
Si oui, explique où tu coinces ; si non empresse-toi de le faire !
Je suis en train de réessayer le conseil de Boninmi parce que je l'avais fait déjà fait mais il y avait plusieurs erreurs dans mon raisonnement dont je viens de me rendre à la relecture :/
Je vous tiens au courant !
Je trouve un x très compliqué x=-(f'/f) en fonction de v'', v', -it, v, -i et (2t2 ...
Donc je suis un peu perdu, je ne crois pas être allé dans la bonne direction.
Issa421: résoudre cette équation différentielle, c'est précisément ce qu'on t'as fait faire dans la première partie. P1 est l'ensemble des solutions.
Tu as à calculer f'(t) + xf(t) en prenant f=g', donc f'=g'' et x=2i.
Il te faut donc calculer g', g'' en fonction de v et , puis remplacer dans f'(t) + xf(t). Enfin tu dois tenir compte de la propriété de v et tout s'arrange. Ce n'est que du calcul.
Relis bien ton énoncé du 1) . Tu n'as pas à chercher x. Il est connu et doit être pris égal à 2i pour la vérification à effectuer.
Le résultat que je trouve ne s'annule pas comme il devrait ...
Je trouve quand je calcule f'+xf = -e-it[(t-1)(v'2i+v(t-1))+vi]
Comment dois-je faire ? Est-ce que j'utilise mal la propriété de v ?
Merci d'avance, j'ai peur de bloquer à cause de quelque chose que je n'ai pas vu :/
Tes calculs sont inexacts. Comme tu calcule g'', v'' doit nécessairement figurer.
Donne moi le résultat de tes calculs pour g' et pour g''.
Alors, je trouve f=v'e-it+ve-it(-it)
J'ai donc f'=v''e-it+v'(-it)e-it+v'e-it(-it)+v(-i)e-it+v(-2t2)e-it
Pour la propriété de v j'utilise : v''=-2v
Merci énormément pour toute cette aide 
La première ligne est fausse.
Quelle est la dérivée de e-it ?
(quelle est la variable de dérivation ? quelles sont les constantes ?)
Du coup le reste est inexact également.
Revois ton calcul attentivement, applique correctement les règles de dérivation.