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Transformations de Möbius

Posté par
GWa 18-04-17 à 11:58

Bonjour,

Je lis un cours qui traite de transformation de Möbius, mais je peine à comprendre un détail. D'après ce que je lis les transformations de Möbius sont d'abord définies comme des automorphisme disque unité ouvert du plan complexe et peuvent être étendue en un homéomorphisme du disque unité fermé.
Plus explicitement, si \mathbb{D} désigne le disque unité ouvert, pour tout \theta\in \mathbb{R},\ w\in \mathbb{D}, on définit
\Phi_{\theta,w}(z)=e^{i\theta}\frac{z-w}{1-\bar{w}z}\ \ \text{ pour tout }z\in\mathbb{D} .

Posté par
GWare : Transformations de Möbius 18-04-17 à 12:02

Désolé pour le double-poste, j'ai bêtement appuyé sur le bouton "poster" au lieu de "Aperçu".
Déjà de un, je trouve pas évident, de voir pourquoi le disque unité ouvert est envoyé sur le disque unité ouvert. J'ai essayé de calculé explicitement le module, mais j'obtiens des formules assez vilaines, et j'arrive pas à conclure.

Posté par
carpediemre : Transformations de Möbius 18-04-17 à 12:14

salut

en notant z* le conjugué de z

|z - w| \le |w^*| |z - w| = |ww^* - w^*z| \le |1 - w^*z|

donc |f(z)| =< 1

ensuite si u = f(z) alors z = ... ce qui prouve que f est bijective

...

Posté par
GWare : Transformations de Möbius 18-04-17 à 12:37

Merci pour ta réponse Carpediem!

Par contre j'ai un peu de peine à te suivre. Il me semble que ta première inégalité
|z - w| \le |w^*| |z - w|
devrait être dans l'autre sens, puisque |w^*|=|w|\leq 1 vu que w\in \mathbb{D} par hypothèse.
J'ai aussi un peu de la peine à voir pourquoi
|ww^* - w^*z| \le |1 - w^*z|.
Je dis pas que c'est faut. C'est juste que ça me saute pas aux yeux. Mais je dois dire que mon analyse complexe est sérieusement rouillée.

Posté par
carpediemre : Transformations de Möbius 18-04-17 à 12:54

je voulais réécrire un msg pour dire que ça n'allait pas ... mais en même temps je l'ai déjà fait à l'envers dès la première étape (ce que je n'avais pas vu) donc oublie !!!

en fait je ne vois rien de simple ... donc il faut y aller à la bourrin !!!

Posté par
GWare : Transformations de Möbius 18-04-17 à 13:00

Merci quand même!

Alors j'y suis allé à la bourrin, et ça marche en fait. Je m'étais emmêlé les pinceaux au début, mais ça fonctionne. Merci!

Posté par
carpediemre : Transformations de Möbius 18-04-17 à 15:09

tu l'as fait avec la forme algébrique de z et w ?

Posté par
GWare : Transformations de Möbius 18-04-17 à 16:03

Oui, j'ai posé z=x+iy, w=u+iv et j'ai calculé explicitement le carré du module du numérateur et le carré du module du dénominateur.

Ensuite ça se résumait à montrer que |z|^2+|w|^2\leq 1 + |w|^2|z|^2, ce que j'ai fait en posant f(a)=1+ab-a-b et regardant la dérivée. Et on voit dans l'équation qu'on a égalité si et seulement si |z|=1. C'est pas très classe mais ça marche...

Posté par
lakere : Transformations de Möbius 18-04-17 à 16:29

Bonjour,

On peut montrer que:

1-\left|\Phi_{\theta,\omega}(z)\right|^2=\dfrac{(1-|z|^2)(1-|\omega|^2)}{|1-\bar{\omega} z|^2}

Posté par
GWare : Transformations de Möbius 18-04-17 à 16:39

Merci pour ta réponse Lake, c'est plus élégant que ma méthode en effet!

Posté par
lakere : Transformations de Möbius 18-04-17 à 16:47

Posté par
carpediemre : Transformations de Möbius 18-04-17 à 18:37

bien vu lake ... mais faut le voir !!

sinon on peu aller un peu plus vite avec f(a, b) = 1 - a - b + ab = (1 - a)(1 - b) \le 1 ... quand on le voit (ou le sait mais c'est un classique de l'arithmétique !!!)

ce qui permet de retrouver le résultat de lake

Posté par
GWare : Transformations de Möbius 19-04-17 à 09:12

J'avoue que je n'avais pas vu. Mais oui c'est un classique qu'on apprend au élève de13 ans. J'ai un peu honte...


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