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Niveau Master
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transformée de fourier

Posté par
jonjon71
26-03-10 à 18:37

Bonjour !

Voilà j'ai un exercice à résoudre pour mon cours d'EDP qui pourra me permettre de gagner 7 points sur mon prochain partiel. Donc j'aimerais pouvoir le résoudre et surtout en y comprenant quelque chose.

Voici l'énoncé :

Citation :
Calculer la transformée de Fourier F(v.p. coth(ax)).


où v.p. désigne la valeur principale.

Voilà je commence à plancher sur cet exo mais il faut d'abord que je regarde ce qu'est la valeur principale (je n'avais jamais vu ça avant !) donc toute aide me sera précieuse.

D'après le prof il faudra calculer une intégrale multivalente avec les résidus mais je n'en suis pas encore là pour l'instant.

Merci à toute contribution.

Posté par
LeHibou
re : transformée de fourier 27-03-10 à 00:47

Bonjour,

Considère une intégrale -..+ f(x)dx, et suppose que cette intégrale soit divergente des deux côtés.
Tu considères alors l'intégrale -A..+A f(x)dx, et tu fais tendre A vers +oo
Il se peut que cette intégrale soit convergente, lorsque les deux parties divergentes se compensent.
C'est cette limite qu'on appelle "partie principale" de l'intégrale divergente

Posté par
jonjon71
re : transformée de fourier 28-03-10 à 12:17

Merci LeHibou, mais concrètement v.p. coth(a*x), c'est égal à quoi ?

Posté par
PIL
re : transformée de fourier 28-03-10 à 14:55

Bonjour,

Une piste, par analogie avec la définition de vp(1/x) : la fonction f(x) = coth(x) n'est pas intégrable autour de l'origine, donc on ne peut pas lui associer de distribution. Mais sa primitive F(x) = ln(|sinh(x)|) est localement intégrable (vérifie !) donc définit une distribution  TF; c'est la dérivée de cette distribution qui est la distribution  vp(coth(x)) : vp(coth(x)) = TF'.  Partant de <TF',> = - <TF,'>  et si tout se passe bien, tu devrais trouver

2$\rm <vp(coth(x), \phi> = lim \int_{|x|\ge \epsilon} coth(x)\phi(x)dx    (limite lorsque tend vers 0)

A toi !

Posté par
PIL
re : transformée de fourier 04-04-10 à 16:43

Salut,

La suite m'aurait intéressé, tu as trouvé quelque chose ?



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