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Transformée de fourier

Posté par
Vantin 01-12-22 à 23:25

Bonjour ! Voilà je dois faire ce (magnifique) exercice et j'aurais besoin d'une relecture pour les questions que j'ai déjà traité et d'aide pour celle où je bloque. Merci par avance !

Dans cet exercice, vous allez apprendre  à décomposer une fonction de Schwarz en fonctions propres de la transformée de Fourier.

a) Montrer que \forall f \in S(\R) \forall x \in \R \mathcal{F} (\mathcal{F} (f))(x) = f(-x) et \mathcal{F} (\mathcal{F} (\mathcal{F} (\mathcal{F} (f)))(x) = f(x)

b) Soit f ∈S(R) un vecteur propre de valeur propre \lambda de l'opérateur F. Cela signifie que f n'est pas la fonction zéro et que \mathcal{F} (f) = \lambda f . Montrer que \lambda^4 = 1 et que par conséquent \lambda \in {1,-1,i,-i}.


Rappel:  nous avons prouvé dans les cours que f(x) = e^{-\pi x^2}
est un vecteur propre de la transformée de Fourier
de Fourier avec la valeur propre 1. Nous allons maintenant en construire infiniment plus et nous verrons que nous pouvons
que nous pouvons écrire n'importe quelle fonction comme une somme de fonctions propres.

c) E_\lambda :=\{ f\in S(\R) | \mathcal{F} (f) = \lambda f \}
correspond à l'espace propre  de la valeur propre \lambda.

Montrer que E_\lambda  est un sous-espace vectoriel de S(R) et que E_\lambda \cap E_{\lambda '} =\{0\} si\lambda \ne \lambda '.  
Ici 0 désigne la fonction qui est partout constante égale à 0

d) Soit f \in S(\R). Montrer que
f_1:=\frac{1}{4} (f + \mathcal{F} (f) + \mathcal{F} (\mathcal{F} (f)) + \mathcal{F} (\mathcal{F} (f) + \mathcal{F} (\mathcal{F} (f))) \in E_1

Pouvez-vous trouver des formules similaires pour les trois autres espaces propres ?

e) Montrez que toute f \inS(\R) peut s'écrire de manière unique sous la forme suivante :
f = f_1+f_{-1}+f_i + f_{-i} où chaque f_\lambda \in E_\lambda. Give formula's for the functions on the right hand side.
Donnez des formules pour les fonctions du côté droit.
Ce que vous avez démontré, c'est que S(\R)=E_1 \bigoplus E_{-1} \bigoplus E_{-i}\bigoplus E_{i}

1)

On utilise la définition de la transformée de fourier du cours:

\mathcal{F} (f)(x) = \int _{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i n x \xi} dx

\mathcal{F}^* (f)(x) = \int _{-\infty}^{\infty} f(x) e^{2\pi i n x \xi} dx

On remarque donc que \mathcal{F}^* (f)(x)  = \mathcal{F} (f)(-x)  

De plus, on sait que \mathcal{F} (\mathcal{F}^* (f)(x)) = f(x)

Donc \mathcal{F} (\mathcal{F} (f))(x) = \mathcal{F} (\mathcal{F}^* (f))(-x) = f(-x)

De plus, en utilisant la première relation, la deuxième tombe sous le sens:

\mathcal{F} (\mathcal{F} (\mathcal{F} (\mathcal{F} (f)))(x) =\mathcal{F} (\mathcal{F} (f(-x))) = \mathcal{F} (\mathcal{F}^* (f(x)))= f(x)

2) On utilise le fait que l'opérateur est linéaire donc

\mathcal{F} (f) = \lambda f  \Rightarrow \left( \mathcal{F} (\mathcal{F} (f) ) = \mathcal{F}(\lambda f) \right) \Leftrightarrow  \left( \mathcal{F} (\mathcal{F} (f) ) = \lambda \mathcal{F}(f) \right)  \Leftrightarrow \left( \mathcal{F} (\mathcal{F} (f) ) = \lambda \cdot \lambda f  = \lambda^2 f  

On recommence la même opération deux fois:

\left( \mathcal{F} (\mathcal{F} (f) )  = \lambda^2 f \Rightarrow \left(  \mathcal{F} ( \mathcal{F} ( \mathcal{F} (\mathcal{F} (f) )))  =  \mathcal{F} ( \mathcal{F} (\lambda^2 f ))  \Leftrightarrow f = \lambda^4 f

De plus, on sait que f n'est pas la fonction zéro donc on peut diviser par f ce qui permet d'obtenir le résultat \lambda ^4 = 1 \\ \Leftrightarrow \lambda^4 -1^2= 0\Leftrightarrow (\lambda^2 -1)(\lambda^2+1)= 0 \Leftrightarrow (\lambda-1)(\lambda+1) -1) (\lambda-i)(\lambda+i) = 0

Ce polynome est de degré 4 donc a au plus 4 racines (si moins, racines comptées avec leur multiplicités) donc on a bien toutes les racines à savoir \lambda \in \{\pm 1,\pm i \}

3) Il s'agit de montrer que E_\lambda est s.e.v de S(\R)

On peut directement remarquer que
E_\lambda =\{ f\in S(\R) | (\mathcal{F} (f) = \lambda f \}  =\{ f\in S(\R) | (\mathcal{F} (f) -\lambda f  =0 \} = Ker( \mathcal{F} (f) -\lambda f )

Cela entraine immédiatement que E_\lambda est un sous-espace vectoriel de S(\R) puisque c'est une propriété du noyau de tout endomorphisme d'après mes souvenirs d'algèbre linéaire 1.

Maintenant on veut montrer que si
\lambda \ne \lambda ' , E_\lambda \cap E_{\lambda '} =\{0\}

Prenons f \in S(\R) tel que f \in E_\lambda et  f \in  E_{\lambda '}  .
Comme f \in E_\lambda , on a que f vérifie \mathcal{F} (f) = \lambda f .
De même, f \in  E_{\lambda '}   donc  \mathcal{F} (f) = \lambda' f .

Autrement dit on a que \lambda f = \lambda' f   et \lambda \ne \lambda ' .
Une fonction multipliée par un scalaire égale à cette même fonction multipliée par un scalaire différent, obligatoirement cette égalité n'est vrai que si f = 0.
Ce qui achève la démonstration.

d)
On veut montrer que f_1 \in E_1 autrement dit on veut montrer que cette égalité \mathcal{F} (f_1) = 1 \cdot  f_1

Pour cela, on utilise que la transformée de fourier est un opérateur linéaire:
\mathcal{F} (f_1) =\mathcal{F} ( \frac{1}{4} (f + \mathcal{F} (f) + \mathcal{F} (\mathcal{F} (f)) + \mathcal{F} (\mathcal{F} (\mathcal{F} (f))  )= \frac{1}{4}  \left(  \mathcal{F} (f) +\mathcal{F} (\mathcal{F} (f)) + \mathcal{F} (\mathcal{F} (\mathcal{F} (f)))  + \mathcal{F} ( \mathcal{F} (\mathcal{F} (\mathcal{F} (f))))\right)  
= \frac{1}{4} (f + \mathcal{F} (f) + \mathcal{F} (\mathcal{F} (f)) + \mathcal{F} (\mathcal{F} (\mathcal{F} (f))  )= f_1

On a bien \mathcal{F} (f_1) = f_1. ( On  a utilisé la deuxième relation de la question 1).

Voilà c'est ici que je bloque, je n'arrive pas à  trouver d'autres formules du même acabit ni à prouver la e.

Merci de m'avoir lu !

Posté par
Vantinre : Transformée de fourier 01-12-22 à 23:48

Ok je viens de me relire, je me suis trompé dans la définition de f_1, j'utilise la bonne définition dans les calculs qui l'implique juste après et il y a un -1 qui traine dans mes racines de l'unité, il faut pas en tenir compte c'est aussi une erreur.

Je pense pouvoir écrire que ce que l'on cherche c'est les coefficients a,b,c,d et e tel que
f_{-1} = \frac{a\cdot f +b\mathcal{F}(f) + c\mathcal{F}(\mathcal{F}(f)) +d\mathcal{F}(\mathcal{F}(\mathcal{F}(f)))}{e}

Comme on veut \mathcal{F}(f_{-1}) = -f_{-1}, je dirais que a=b=c=d=1 et e=-1/4

J'avoue ne pas comprendre pourquoi il y a 1/4 devant, peut être que ça se goupille bien pour la e.

Si on suit ce raisonnement j'obtiens:
f_{-1} = -\frac{1}{4}\left( f +\mathcal{F}(f) + \mathcal{F}(\mathcal{F}(f)) +\mathcal{F}(\mathcal{F}(\mathcal{F}(f)))\right)

f_{i} = \frac{i}{4}\left( f +\mathcal{F}(f) + \mathcal{F}(\mathcal{F}(f)) +\mathcal{F}(\mathcal{F}(\mathcal{F}(f)))\right)


f_{-i} = -\frac{i}{4}\left( f +\mathcal{F}(f) + \mathcal{F}(\mathcal{F}(f)) +\mathcal{F}(\mathcal{F}(\mathcal{F}(f)))\right)

Mais ça peut être ça car dans ce cas si j'additionne f_{-i} + f_{i} +f_{-1} + f_{1}   je vais obtenir 0 et pas f

Posté par
carpediemre : Transformée de fourier 02-12-22 à 09:14

salut

qui est S(R) ? (définition précise)

a/ je ne pense pas que tu répondes à la question comme il est demandé : tu utilises directement les résultats de cette démonstration


on te demande de montrer que \int_{-\infty}^{+\infty} F(f)(\xi) e^{-2i\pi nx \xi} d\xi = f(-x)


et que vient faire ce \xi ? erreur dans la définition de la transformée de Fourier ...

ne serait-ce as plutôt \mathcal{F} (f)(\xi) = \int _{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i n x \xi} dx

Posté par
Vantinre : Transformée de fourier 02-12-22 à 23:22

Bonsoir Carpediem !

Comme nous avons démontrés ces résultats en cours, je pense que c'est ok d'utiliser ces résultats. Mais je vais essayer de le faire "sans tricher".

Je ne pense pas que ce soit une erreur, j'utilise la définition de la TF page 142 du livre stein shakarchi fourier analysis an introduction
ou alors je ne vois pas ce que j'ai mal écrit.

L'espace de Schwartz sur l'ensemble des réels consiste en l'ensemble des fonctions dérivables tel que la fonction et toutes ses dérivées sont à décroissances rapides au sens:
\forall k,l >0 sup|x^k||f^{(l)}(x)| < \infty (le sup est borné)

Aurais-tu une idée pour la d ou la f ? concernant les formules de f_\lambda

Posté par
carpediemre : Transformée de fourier 03-12-22 à 09:23

ok pour les démo ...

cependant je persiste : il y a une erreur dans la définition

Vantin @ 01-12-2022 à 23:25

On utilise la définition de la transformée de fourier du cours:

\mathcal{F} (f)(x) = \int _{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i n x \xi} dx

\mathcal{F}^* (f)(x) = \int _{-\infty}^{\infty} f(x) e^{2\pi i n x \xi} dx
il n'y a pas de \xi là où il devrait être et il me semble que c'est

\mathcal{F} (f)(\xi) = \int _{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i n x \xi} dx

\mathcal{F}^* (f)(\xi) = \int _{-\infty}^{\infty} f(x) e^{2\pi i n x \xi} dx

pour te donner l'idée générale : c'est le même principe de décomposition d'une fonction en fonction paire et impaire :

soit f une fonction

alors les fonctions g et h définies par g(x) = f(x) + f(-x) et h(x) = f(x) - f(-x) sont respectivement paire et impaire et f = \dfrac 1 2 (g + h)

ici on applique le même principe : on veut te faire décomposer toute fonction f de S(R) en somme de quatre fonctions, chacune associée à une valeur propre

soit donc f € S(R) et f_1 = \dfrac{1}{4} (f + \mathcal{F} (f) + \mathcal{F} (\mathcal{F} (f)) + \mathcal{F} (\mathcal{F} (f) + \mathcal{F} (\mathcal{F} (f))) \in E_1

l'opérateur F étant linéaire il suffit très certainement de "ajouter" des moins et/ou des i à l'expression de f_1 pour obtenir des fonctions f_{-1}, f_i $ et $ f_{-i} qui soient vecteurs propres pour les valeurs propres -1, i et -i

si tu as fait proprement ton travail pour f_1 regarde bien où il faudrait mettre ces moins et ces i ...

Posté par
Vantinre : Transformée de fourier 03-12-22 à 15:57

Ah oui du côté gauche de l'équation, oui en effet je me suis trompé je vais corriger ça dans mes notes merci ! Mais le raisonnement reste le même

Ok je pense avoir bien placé les - et les i :

f_{-1} = \frac{1}{4}\left( f -\mathcal{F}(f) + \mathcal{F}(\mathcal{F}(f)) -\mathcal{F}(\mathcal{F}(\mathcal{F}(f)))\right)

Montrons que f_{-1} \in E_{-1} autrement dit \mathcal{F}(f_{-1}) = -f_{-1}

\mathcal{F}(f_{-1}) =  \mathcal{F}(\frac{1}{4}\left( f -\mathcal{F}(f) + \mathcal{F}(\mathcal{F}(f)) -\mathcal{F}(\mathcal{F}(\mathcal{F}(f)))\right)) =  \frac{1}{4}\mathcal{F}(\left( f -\mathcal{F}(f) + \mathcal{F}(\mathcal{F}(f)) -\mathcal{F}(\mathcal{F}(\mathcal{F}(f)))\right))

=  \frac{1}{4}\left( \mathcal{F}( f) -\mathcal{F}(\mathcal{F}(f)) + \mathcal{F}( \mathcal{F}(\mathcal{F}(f))) - \mathcal{F}( \mathcal{F}(\mathcal{F}(\mathcal{F}(f))))) \right) =  \frac{1}{4}\left( -f +\mathcal{F}(f) - \mathcal{F}(\mathcal{F}(f)) +\mathcal{F}(\mathcal{F}(\mathcal{F}(f)))\right)
=-f_{-1}

Donc j'ai une formule qui convient cependant j'aurais pu prendre
f_{-1} = \frac{1}{4}\left( -f +\mathcal{F}(f) - \mathcal{F}(\mathcal{F}(f)) +\mathcal{F}(\mathcal{F}(\mathcal{F}(f)))\right)
qui fonctionne aussi alors comment choisir entre les deux ?


Ensuite, je trouve :

f_{i} = \frac{1}{4}\left( f -i\mathcal{F}(f) - \mathcal{F}(\mathcal{F}(f)) +i\mathcal{F}(\mathcal{F}(\mathcal{F}(f)))\right)


f_{-i} = \frac{1}{4}\left( f +i\mathcal{F}(f) - \mathcal{F}(\mathcal{F}(f)) -i\mathcal{F}(\mathcal{F}(\mathcal{F}(f)))\right)

Posté par
Vantinre : Transformée de fourier 03-12-22 à 16:18

Ok pour la dernière question, j'ai un peu de mal au début je pensais qu'il fallait utiliser le fait que E_{\lambda} \cap E_{\lambda'} = \{ 0 \} mais je ne vois pas trop comment.
Après je me suis rappelé que f = f_{1} + f_{-1} + f_{i}  + f_{-i} de manière unique c'est équivalent à montrer que (f_{1} ,f_{-1} ,f_{i} , f_{-i}) est une famille libre et ça j'ai réussi à le faire.

Posté par
carpediemre : Transformée de fourier 03-12-22 à 17:19

F est linéaire donc il est clair qu'en notant g et h tes deux expressions de f-1

alors h = -g et F(g) = -g et F(h) = -h par linéarité ...

mais n'oublie qu'en choisissant tes quatre expressions associées aux valeurs propre 1, -1, i et - i la somme doit donner 4f (question e))

ce qui t'impose des contraintes entre les diverses possibilités

Posté par
Vantinre : Transformée de fourier 03-12-22 à 17:43

Oui c'est bien ce que je pensais, il faut que je prenne la première.

Concernant la e, je crois que ce que j'ai écris est insuffisant car ce que j'ai prouvé ce qu'il existe un unique quadruplet tel que f =\lambda_1 f_{1} + \lambda_2 f_{-1} + \lambda_3 f_{i}  + \lambda_4 f_{-i}

Donc il faut que je montre que c'est vrai pour (1,1,1,1) ce qui achève la démonstration.
Est ce la bonne manière de faire ou il y a un meilleur moyen de prouver l'unicité ?

Posté par
carpediemre : Transformée de fourier 03-12-22 à 18:03

avec les expressions que tu as n'as-tu pas que 4f = f_1 + f_{-1} + f_i + f_{-i}  ?

et n'oublie que puisque tu as une somme directe alors la décomposition est unique

donc quand tu en as une ben c'est la décomposition puisqu'elle est unique !!

Posté par
Vantinre : Transformée de fourier 03-12-22 à 18:15

Je pense que non car il y a le facteur 1/4 devant donc 1/4f+1/4f+1/4f+1/4f =f et le reste s'annule ce que tu dis es vrai mais j'ai l'impression que l'exercice va dans l'autre sens c'est ce qu'on obtient c'est une décomposition mais rien n'indique qu'elle unique, le fait qu'on prouve son unicité permet de déduire que c'est une somme direct.

Posté par
carpediemre : Transformée de fourier 03-12-22 à 19:16

ben tu le montres classiquement à l'aide de la question c/ en supposant que  4f = f_1 + f_{-1} + f_i + f_{-i}  $ et $  4f = g_1 + g_{-1} + g_i + g_{-i}

puis tu calcules la différence ...

PS : j'écris 4f pour éviter de me trainer des fractions ...

diviser par 4 est une trivialité de collège si ce n'est de primaire ...

Posté par
Vantinre : Transformée de fourier 03-12-22 à 21:15

Merci carpediem

Posté par
carpediemre : Transformée de fourier 03-12-22 à 21:51

tu as su faire ?

Posté par
Vantinre : Transformée de fourier 03-12-22 à 22:22

Oui ! C'est bon pour moi

Posté par
carpediemre : Transformée de fourier 03-12-22 à 22:38

ok alors tant mieux !!


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