Bonjour,
C'est la suite de ce problème Transformée de Fourier discrète.
Dans toute la suite de cette partie nous supposerons que est impair et notre objectif est de d´eterminer la dimension des espaces propres de
. Pour
on note
.
1-a) Montrer que .
b) Montrer que
2) On pose . Montrer que
.
3) En déduire que :
et qu'il existe des nombres et
tels que
.
4) En considérant la matrice , montrer que
5) Montrer que :
- Si alors
;
- Si alors
.
6) Montrer que et en déduire la valeur de
en fonction de
.
7) Conclure que, si , on a
.
Réponses
1-a) Je ne trouve pas la même chose comme l'énoncé.
Je trouve plutôt .
1-b) On a
Il me semble que .
Il y a un problème de signe, et je me débrouillerais pour mieux arranger les choses en vue du produit à faire et de l'expression finale qu'on vise.
Désolé, pas de problème de signe, juste que la façon dont tu as écrit l'expression fait qu'il n'est pas commode de s'y retrouver.
Est-ce qu'il faut calculer ?
Je me suis arrêter à l'expression du 19-09-23 à 22:51 parce que j'ai vu qui se retrouve dans le résultat demandé.
Attention, tu fais de nouveau comme si le déterminant de était
.
Ensuite c'est bien de faire ressortir , mais alors il vaut mieux le mettre en facteur et s'arranger pour que l'autre facteur soit sympa !
Je procéderais ainsi :
,
et on reconnaît dans ce qui est entre parenthèses .
Oui, c'est bien ce que j'ai fait.
Mais ce qui me pose problème, c'est le produit qu'il faut calculer.
Désolé, je m'étais un peu melangé dans les calculs.
1-b) La matrice de Vandermonde est définie par
et
.
On a pu exprimer en fonction de la matrice de la matrice de Vandermonde :
Puis on va
Tu apportes un soin extrême à la présentation LaTeX. Si seulement tu pouvais apporter le même soin aux calculs eux-mêmes !
Je relève : un facteur oublié dans \zeta^k-\zeta^{\ell}, un signe
en trop dans la première ligne de
.
Plus embêtant :
- comment justifies tu ton ? Il vaudrait mieux d'ailleurs ne pas parler du logarithme népérien d'un nombre complexe !
- ce que tu as écrit pour la question 2), c'est vraiment n'importe quoi !
L'hypothèse impair sert à la fois pour 1b) et pour 2.
Pour le calcul de , il n'est pas inutile de se rappeler que
.
Je ne vois pas vraiment comment utiliser parité de .
Après avoir rectifié les erreurs de signes, il semble qu'on doit montrer que pour aboutir au résultat.
Si
On a
Sans avoir besoin de passer par le logarithme, le produit d'exponentielle est l'exponentielle de la somme.
Bonsoir GBZM
Pour
Si
Comme est impair d'après l'énoncé, on a bien le résultat souhaité.
2) On a
Il me semble qu'il faut utiliser le fait que est impair pour montrer qu'on peut écrire
Mais je ne vois pas vraiment, si je ne raconte pas n'importe quoi bien sur..
1b) : Tu es sûr d'avoir trouvé comme résultat du calcul de la question 1a) ? Tu perds beaucoup de temps avec tes fautes d'inattention.
2) : Le boulot reste à faire. On peut se souvenir que , et traiter
et
comme des entiers modulo
(c'est plus commode).
Je n'ai pas vu la correction pour le 1b).
Et tu écris toujours n'importe quoi pour la 2)
et
sont congrus modulo
signifie que
non ?
Je crois que vous me conseilliez d'utiliser les restes de et
par
peut-être..
pour 1-b)
Pour ,
car
est un entier.
OK pour 1b).
J'ai écrit
Pourquoi avoir suggéré d'écrire sous cette forme ? Pour que tu penses à calculer
.
Le résultat dépend bien sûr de et de
. Si tu es perdu, prends
et
puis
, par exemple, pour voir ce qui se passe.
Tu sembles avoir complètement perdu ta boussole dans cet exercice et ne plus pouvoir avancer dans la bonne direction sans qu'on te mâche tout. Peut-être devrais-tu laisser tomber, quitte à y revenir plus tard ?
Bonjour GBZM, si , je trouve
Pour m = 2, rien d'intéressant.. si je ne raconte pas n'importe quoi.
Et je n'ai pas vraiment compris pourquoi c'est plus commode de poser k et l comme des entiers modulo N.
Pour obtenir la valeur complète de , il faut tenir compte de toutes les valeurs possibles de
en utilisant la périodicité de
pour regrouper les termes.
On a , donc
, avec
un entier.
Donc pour ,
Peut-être que sinon on a bien
pour cette double somme.
Et pour ,
car
Bon, le cas N=9, m=2 est enfin traité correctement.
Pourquoi ne veux-tu pas traiter le cas ,
?
Et après
Reprenons : après de multiples erreurs, tu finis par traiter correctement le cas m=0, le cas m=2, et tu trouves le moyen de te tromper pour la somme pour tous les m de 0 à N-1.
J'ai pas compris.
En poursuivant bien les calculs du cas m = 0, on ne trouvera pas ..
Puisque j'ai juste montré que ,
Pas que
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