;) quelle mise en scene =)
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Niveau Maths sup
Très très difficile avec des complexes demandant reflexion
Posté par lefoudemaths
Bonjour, pouvez vous m'aider pour cet exercice s'il vous plait. C'est à force d'étudier des exercices comme ça (surtout leur correction parce que j'y arrive pas toujours) que je les comprends.
Soit 
un nombre complexe non nul. On considère la suite de nombres complexes S=(zn)n
définie pour n par la relation 
n, zn+1=zn + i, et par z0 = 0.
a) Calculer z1, z2, z3, z4, puis zn en fonction de et de n.
b) Deux termes de la suite S, d'indices différents peuvent ils être égaux ? Montrer que, dans l'affirmative la suite est périodique (C'est à dire qu'il existe un entier naturel T tel que pour tout n, un+T=un).
c)Démontrer la relation :
zn+2=(1+)zn+1 - zn pour tout n (2).
Montrer qu'inversement toute suite complexe (zn)n
vérifiant z0=0, z1=i, et la relation (2) est égale à la suite S.
2) Soit u le nombre complexe de module r > 0 et d'argument 
]0;
/2[.
On définit une suite de points (An)n par les conditions : A0 est l'origine du repère, A1 est le point d'affixe i, et pour tout n, le point An+2 est l'image de An+1 par la similitude de centre An, de rapport r et d'angle . On note zn l'affixe de An. Écrire une relation entre zn, zn+1 et zn+2.
Montrer que An+1 est l'image de An par une similitude 
indépendante de n dont on précisera le centre, le rapport et l'angle.
3. On pose r=2cos. Montrer que est une rotation dont on donnera l'angle.
4)a) On suppose maintenant r= 1/(cos). Préciser dans ce cas les éléments de la similitude .
b) Démontrer qu'il existe deux droites D et 
perpendiculaires, indépendantes de n, telles que tous les points An appartiennent à une ou à l'autre de ces deux droites.
c) Montrer que les vecteurs AnAn+1 et An+1An+2 sont orthogonaux.
Pour la question a) j'ai trouvé que :
z1 = i
z2 = i(+1)
z3 = i(2++1)
z4 = i(3+2++1)
Et j'ai donc conclu que zn = i(n-1+n-2+...+2++1)
et donc zn = i ( (1-n)/(1-) )
Pour la question b) j'ai dis que :
zn=zk <=> 1-n = 1-k <=> n-k=1. Donc on revient aux racines n-ièmes de 1.
Merci beaucoup pour votre aide.
Salut,
a) Je suis d'accord avec toi pour cette question, je trouve pour tout n,
Un =
b) supposons qu'il existe k et l, k > l tels que zk = zl
alors on aurait =
, d'où
, donc
, et donc zk-l=z0
En posant T= k-l, au rang 0, on a z T+0=z 0.
Si au rang n, z T+n=z n, alors z T+n+1=z T+n+i = z n+i = z n+1. on aurait donc pour tout n, z T+n=z n, et la suite z n serait T-périodique.
]j'ai oublié la première partie de la réponse:
Pour (k,l)€², les termes z ket z l sont égaux si et seulement si , donc en posant
=r.ei
, rl=rk, d'où r = 1 (car non nul), et l
k[2], donc 0[2/(k-l)]:
il est donc possible que deux termes zk et zl soient identiques.
bonsoir,
je t'ai répondu vers 20h mais il y a eu une coupure d'internet et mon message est toujours figé sur l'ordinateur avec lequel je travaillais,je ne recommence pas puisque yoyodada t'est venu en aide,mais
attention à l'écriture de znsous forme d'un quotient ,le texte ne dit pas que
est différent de 1,si =1 la suite est arithmétique de raison i
c) pas de difficulté
zn+2=zn+1+i=zn+1+(zn+1-zn
ah oui, zut, encore une inattention... mais sinon tu as l'impression que je n'ai pas trop écrit de bétises ?
Merci
Mais pouvez vous m'aider pour les questions suivantes ? Parce que c'est celles que je réussis pas ...
Alors jeune homme on a recourt à la facilité la veille! il fallait travaillé avant et chercher soi-meme.
Nom, prénom de l'élève, et venez me voir demain dès la sonnerie pour clarifier certaine chose.
Bon, si j'ai bien compris c'est encore à moi de m'y coller, ben voyons !
2) on note zn l'affixe de An: comme An+2 est l'image de An+1 par la similitude (directe?, j'ai supposé que oui) de centre An d'angle et de rapport r, cela donne en écriture complexe:
s(zn+1) = zn+2 = r.eizn+1 +b, où b est dans C.
Comme s(An) = An, alors r.ei*zn + b = zn
donc b = zn(1-r.ei)
donc zn+2 = r.eizn+1 + zn(1-r.ei)