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Niveau Licence Maths 1e ann
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triangle de pascal

Posté par
grossekiche
28-09-15 à 18:14

Bonjour,

Je suis sur le chapitre de la linéarisation, j'ai de grosses lacunes en maths, et je bloque içi:

- Par la formule d'Euler:

sin^4(x) = [(e^(ix) - e^(-ix))^4]/2i
        = [1/(2i)^4].(quoi ?)

Je viens de comprendre l'utilité du triangle de pascal, mais je n'arrive pas à l'appliquer à des puissances supérieures à 2 et j'aimerai saisir.

Exemple: (a+b)^4

Mon triangle~
^0 --> 1
^1 --> 11
^2 --> 121
^3 --> 1331
^4 --> 14641

Le résultat développé que je dois obtenir:
1*a^4 + 4*a^3*b + 6*a²*b² + 4*a*b^3 + 1*b^4

Mes questions:
-Comment savoir dans le 2eme terme 4*a^3*b que le 'a' est à la puissance 3 et pas le 'b' ?
-Au 2eme terme, comment sait t on que le 'a' est à la puissance 3 ? d'où çà sort ?
-Pourquoi au 3eme terme 6*a²*b² il n'y a que des puissances de 2 ? aucune correspondance avec le triangle de pascal ...
-Et puis tiens au 4eme terme 4*a*b^3 on nous remet le 'b' à la puissance 3 maintenant !

Les maths çà me rongent, merci d'avance pour vos explications.

Posté par
Jedoniezh
re : triangle de pascal 28-09-15 à 18:16

Bonsoir,

Les maths, ça gagne aussi (si on s'y penche).

il faudrait en parallèle que tu te penches pour bien comprendre sur le binôme de Newton.

Posté par
grossekiche
re : triangle de pascal 28-09-15 à 18:30

oui j'ai regardé effectivement le binôme de newton mais je ne saisis pas vraiment, et comment je retiens çà !?

Exemple j'applique le binô~ sur pour (a+b)2

(a+b)^2 = a² + a^(2-1).b + a^(2-2).b²
        = a² + (a^1).b  + b²

Et c'est faux puisqu'il me faut 2ab, où est indiqué le coefficient 2 dans le binôme de newton ?


triangle de pascal

Posté par
Jedoniezh
re : triangle de pascal 28-09-15 à 18:36

Il y a 2 choses qu'il faut que tu distingues :
   - les coefficients dits binomiaux, et ça tu les as avec le triangle de Pascal,
   - les puissances qui s'appliquent aux 2 termes a et b et qui croissent pour l'un, quand elles décroissent pour l'autre.

Posté par
Jedoniezh
re : triangle de pascal 28-09-15 à 18:41

(a+b)^2=1a^2b^{2-2}+2a^{1}b^{2-1=1}+1a^{2-2=0}b^{2-0}

Posté par
grossekiche
re : triangle de pascal 28-09-15 à 18:41

ah ok ! donc le coefficient binomial que je ne retrouvais pas dans le binôme de newton est en fait dans le triangle de pascal, est ce bien çà ?

Posté par
Jedoniezh
re : triangle de pascal 28-09-15 à 18:49

Oui, les coefficient devant tes termes sont donnés par le triangle de Pascal.

Occupons-,pis pour l'instant uniquement des coefficients binomiaux, sans se soucier des puissances.

Regardons pour (a+b)^6


1
1   1
1   2    1
1   3    3   1
1   4    6    4   1
1   5   10  10  5  1
1   6   15  20 15 6  1 ==> (a+b)^6=1a^?b^?+6a^?b^?+15a^?b^?+20a^?b^?+15a^?b^?+6a^?b^?+1a^?b^?

Est-ce que ça c'est ok à présent ?

Posté par
Jedoniezh
re : triangle de pascal 28-09-15 à 18:50

Oui, les coefficients devant tes termes sont donnés par le triangle de Pascal (et aussi par le binôme de Newton masi bref ...).

Occupons-nous pour l'instant uniquement des coefficients binomiaux, sans se soucier des puissances.

Regardons pour (a+b)^6


1
1   1
1   2    1
1   3    3   1
1   4    6    4   1
1   5   10  10  5  1
1   6   15  20 15 6  1 ==> (a+b)^6=1a^?b^?+6a^?b^?+15a^?b^?+20a^?b^?+15a^?b^?+6a^?b^?+1a^?b^?

Est-ce que ça c'est ok à présent ?

Posté par
grossekiche
re : triangle de pascal 28-09-15 à 18:54

C'est ultra claire, d'après ton développement sans les puissances je n'ai qu'a les retrouvées avec le binôme de newton.
très bonne explication merci.

Posté par
Jedoniezh
re : triangle de pascal 28-09-15 à 18:56

Donc ça te donne cela pour l'instant :

(a+b)^6=a^?b^?+6a^?b^?+15a^?b^?+20a^?b^?+15a^?b^?+6a^?b^?+a^?b^?

A présent, ton a de "départ" va avoir une puissance de 6, laquelle "descendra d'un cran" à chaque nouvel a^?b^?  quand tu vas de gauche à droite (sens du développement).

Tu obtiens donc :

(a+b)^6=a^6b^?+6a^5b^?+15a^4b^?+20a^3b^?+15a^2b^?+6a^1b^?+\underbrace{a^0}_{=1}b^?\\\\=a^6b^?+6a^5b^?+15a^4b^?+20a^3b^?+15a^2b^?+6a^1b^?+b^?

Posté par
Jedoniezh
re : triangle de pascal 28-09-15 à 19:01

Maintenant, ton b de "départ" va avoir une puissance de 0, laquelle "augmentera d'un cran" à chaque nouvel a^?b^?  quand tu vas de gauche à droite (sens du développement).

D'où :

(a+b)^6=a^6\underbrace{b^0}_{=1}+6a^5b^1+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6a^1b^5+b^6\\\\=a^6+\underbrace{6a^5b^1}_{=6a^5b}+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+\underbrace{6a^1b^5}_{=6ab^5}+b^6

Donc :

\boxed{(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6}

Posté par
grossekiche
re : triangle de pascal 28-09-15 à 19:13

J'ai mis du temps mais oui j'ai bien trouvé çà

Thanks Jedoniezh et bonne soirée !

Posté par
Jedoniezh
re : triangle de pascal 28-09-15 à 19:15

Attention, si tu as :

(a-b)^n

tu alternes une fois sur 2 les signes + et -.

Exemple :

(a-b)^6=a^6-6a^5b+15a^4b^2-20a^3b^3+15a^2b^4-6ab^5+b^6

Pour ce qui est de ta linéarisation, un conseil, reviens vers moi parce que tu risques de galérer ...

Posté par
grossekiche
re : triangle de pascal 28-09-15 à 19:27

tu fais bien de me le préciser pour (a-b)^6

Pour ce qui est de la linéarisation de mon sin^4(x),

sin^4(x) = [(e^(ix) - e^(-ix))^4]/2i
        = [1/(2i)^4].[((e^(ix) - e^(-ix))^4]

Ces termes en rouge il ne me reste plus qu'a les développer avec le binôme de newton et le triangle de pascal, puis réduire non ?

Posté par
Jedoniezh
re : triangle de pascal 28-09-15 à 19:32

Oui, mais si tu pars comme ça, tu vas peiner.

Posté par
grossekiche
re : triangle de pascal 28-09-15 à 19:33

c'est la méthode qu'il nous on montré en classe, mais si il y a mieux je t'écoute attentivement.

Posté par
Jedoniezh
re : triangle de pascal 28-09-15 à 19:38

Laisse moi juste quelques minutes que je mette cela sous latex.

C'est une astuce, mais tu verras, c'est mieux.

Posté par
Jedoniezh
re : triangle de pascal 28-09-15 à 19:44

Je te propose de partir sur le cos^4x pour commencer, car le sin^4x est un peu plus velu.

Isole ton facteur en \frac{1}{2^{n-1}}

cos^4x=(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2})^4=\frac{1}{2^3}\times \frac{(e^{ix}+e^{-ix})^4}{2}

Ok là dessus je pense, oui ?

Posté par
grossekiche
re : triangle de pascal 28-09-15 à 19:45

oui je te suis

Posté par
Jedoniezh
re : triangle de pascal 28-09-15 à 19:56

Ensuite, ce qu'il faut remarquer quand tu développes cela :

(e^{ix}+e^{-ix})^4

c'est que tes puissances vont "varier par valeur de 2" (c'est mal dit mais je pense que tu comprendras en faisant) :

(e^{ix}+e^{-ix})^4=e^{4ix}\underbrace{e^{-0ix}}_{=1}+\underbrace{4e^{3ix}e^{-ix}}_{=e^{2ix}}+6\underbrace{e^{2ix}e^{-2ix}}_{=e^0=1}+4\underbrace{e^{ix}e^{-3ix}}_{=e^{-2ix}}+e^{0ix}e^{-4ix}=\underbrace{e^{4ix}+4e^{2ix}+6+4e^{-2ix}+e^{-4ix}}_{\text{les puissances varient en valeurs de 2}}

Comprends-tu ?

Posté par
Jedoniezh
re : triangle de pascal 28-09-15 à 20:03


(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6

(e^{ix}+e^{-ix})^6=e^{6ix}+6e^{4ix}+15e^{2ix}+20+15e^{-2ix}+6e^{-4ix}+e^{-6ix}

Posté par
grossekiche
re : triangle de pascal 28-09-15 à 20:09

je suis lent mais je suis tombé sur le résultat, donc les puissances varient en valeur de 2, oui je te suis

Posté par
Jedoniezh
re : triangle de pascal 28-09-15 à 20:19

Oui, elles varient en valeur de 2.

Pour une puissance 6 au départ, la variation sera :
6  4  2  0  -2  -4  -6

A présent, regarde :

cos^4x=(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2})^4=\frac{1}{2^3}\times \frac{(e^{ix}+e^{-ix})^4}{2}=\frac{1}{8}\times \frac{\textcolor{red}{e^{4ix}}+\textcolor{blue}{4e^{2ix}}+\textcolor{green}{6}+\textcolor{blue}{4e^{-2ix}}+\textcolor{red}{e^{-4ix}}}{2}=\frac{1}{8}(\textcolor{red}{cos(4x)}+\textcolor{blue}{4cos(2x)}+\textcolor{green}{3})

Posté par
Jedoniezh
re : triangle de pascal 28-09-15 à 20:29


sin^4x=(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i})^4=\frac{1}{2^3\times i^4}\times \frac{(e^{ix}+e^{-ix})^4}{2}=\frac{1}{8}\times \frac{\textcolor{red}{e^{4ix}}-\textcolor{blue}{4e^{2ix}}+\textcolor{green}{6}-\textcolor{blue}{4e^{-2ix}}+\textcolor{red}{e^{-4ix}}}{2}=\frac{1}{8}(\textcolor{red}{cos(4x)}-\textcolor{blue}{4cos(2x)}+\textcolor{green}{3})

Posté par
grossekiche
re : triangle de pascal 28-09-15 à 20:30

Encore une fois c'est super claire !

6  4  2  0  -2  -4  -6

Et çà me donne même le signe de chaque 'ix' des exponentielles =)

Merci beaucoup Jedoniezh, dommage qu'il n'y ait pas de +1 sur cette board.

Posté par
Jedoniezh
re : triangle de pascal 28-09-15 à 20:31

Donc il faut faire attention à ton coefficient en vert, car souvent l'erreur est là, on oublie de diviser par 2.

Maintenant, il te reste une difficulté, c'est si tu dois linéariser un sin^nx avec un n impair.

Posté par
grossekiche
re : triangle de pascal 28-09-15 à 20:35

j'ai notée pour ce coef à diviser par 2

Concernant un sin^nx avec un n impair, il y a difficulté car l'astuce des puissances paires ne marchent pas, ok.

Mais y a t il une autre astuce ?
Est ce la même difficulté avec cos^nx avec n impair ?

Posté par
Jedoniezh
re : triangle de pascal 28-09-15 à 20:48

Exemple : sin^5(x)

Triangle de Pascal pour les coefficients binomiaux :

1
1   1
1   2    1
1   3    3   1
1   4    6    4   1
1   5   10  10  5  1

Variations des puissances par valeurs de 2 (valeur de 2 uniquement par ce qu'on a affaire à des exponentielles)

5  3  1  1  3  5

sin^5x=(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i})^5=\frac{1}{(2i)^4}\times \frac{e^{5ix}-5e^{3ix}+10e^{ix}-10e^{-ix}+5e^{-3ix}-e^{-5ix}}{2i}=\frac{1}{16}(sin(5x)-5sin(3x)+10sinx)

Posté par
Jedoniezh
re : triangle de pascal 28-09-15 à 20:49

Maintenant tu sais tout.

Posté par
grossekiche
re : triangle de pascal 28-09-15 à 20:57

Je te remercie encore une fois et te souhaite une agréable fin bonne soirée

Posté par
Jedoniezh
re : triangle de pascal 28-09-15 à 21:03

Merci.

Posté par
mdr_non
re : triangle de pascal 28-09-15 à 21:09

bonsoir : )

tu pourrais également essayer de linéariser pour une puissance de n quelconque,
ça t'apprendra à manipuler les sommes, le binôme de Newton... h

Posté par
mdr_non
re : triangle de pascal 28-09-15 à 21:10
Posté par
mdr_non
re : triangle de pascal 28-09-15 à 21:11

et avec l'astuce de Jedoniezh, au lieu de faire comme dans le lien (avec sin^n) on peut juste faire pour cos^n et ensuite utiliser le résultat de cos^n pour déduire celui pour sin^n

Posté par
mdr_non
re : triangle de pascal 28-09-15 à 21:17

bon, en fait on fait pour cos, et après sin(x) = cos(pi/2 - x)



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