Niveau Licence Maths 1e ann

Triangle équilatéral

Posté par
manubac 12-12-11 à 13:56

Bonjour,

J'ai commencé cet exo mais suis bloqué au milieu du raisonnement :

Exo : Si A et B sont des points du plan d'affixe 9+3i et 1+6i, trouver l'affixe d'un point M tel que le triangle ABM soit équilatéral.

J'ai essayé (en posant a+ib l'affixe du point C) d'obtenir un système d'équations avec les formules module[9+3i-(1+6i)]=module[9+3i-(a+ib)] ainsi que module[1+6i-(a+ib)]=1+6i.

Mais je n'aboutis pas à un système satisfaisant.

Merci de votre aide.

Posté par re : Triangle équilatéral 12-12-11 à 14:04

Bonjour
ABM est équilatéral : M est l'image de B dans la rotation de centre A et d'angle /2 (2 solutions)

$\vec{AM}=i\vec{AB}$ ou $\vec{AM}=-i\vec{AB}$

Posté par re : Triangle équilatéral 12-12-11 à 14:06

/3 nan ?

Posté par re : Triangle équilatéral 12-12-11 à 14:09

Evidemment ! Etourdi ...

Posté par re : Triangle équilatéral 12-12-11 à 14:12

et correction :
$\vec{AM}=e^{i\pi/3}\vec{AB}$ ou $\vec{AM}=e^{-i\pi/3}\vec{AB}$

Posté par re : Triangle équilatéral 12-12-11 à 15:40

On a A(z_A=9+3i) et B(z_B=1+6i).
En posant z_M=a+ib est l'affixe de M, on a donc :
ABM est équilatéral M est l'image de B par la rotation de centre A et d'angle /3
z_M-z_A = e^i/3(z_B-z_A)  OU  z_M-z_A = e^-i/3(z_B-z_A)
a+ib-9-3i = e^i/3(1+6i-9-3i)  OU  a+ib-9-3i = e^-i/3(1+6i-9-3i)
a+ib = [cos(/3)+isin(/3)](1+6i-9-3i)+9+3i  OU  a+ib = [cos(-/3)+isin(-/3)](1+6i-9-3i)+9+3i
a+ib = [(1/2)+i( $\Large\frac{\sqrt{3}}{2}$ )](1+6i-9-3i)+9+3i  OU  a+ib = [(1/2)+i( $\Large\frac{-\sqrt{3}}{2}$ )](1+6i-9-3i)+9+3i
a+ib = (1/2)+3i-(9/2)-(3/2)i+i( $\Large\frac{\sqrt{3}}{2}$ ) - 33 - 9i( $\Large\frac{\sqrt{3}}{2}$ ) +3( $\Large\frac{\sqrt{3}}{2}$ ) + 9 + 3i  OU  a+ib = (1/2)+3i-(9/2)-(3/2)i+i( $\Large\frac{-\sqrt{3}}{2}$ )+ 33 + 9i( $\Large\frac{\sqrt{3}}{2}$ )-3( $\Large\frac{\sqrt{3}}{2}$ ) + 9 + 3i
a+ib = -4+9-33 + 3( $\Large\frac{\sqrt{3}}{2}$ ) + i(3-(3/2)+ $\Large\frac{\sqrt{3}}{2}$ )-9( $\Large\frac{\sqrt{3}}{2}$ )+3)  OU  a+ib = -4+9+33 - 3( $\Large\frac{\sqrt{3}}{2}$ ) + i(3-(3/2)-( $\Large\frac{\sqrt{3}}{2}$ )+9( $\Large\frac{\sqrt{3}}{2}$ )+3)
  a+ib = $\Large\frac{-8+18-6\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{2}$ +i( $\Large\frac{6-3+\sqrt{3}-9\sqrt{3}+6}{2}$ )  OU  a+ib = $\Large\frac{-8+18+6\sqrt{3}-3\sqrt{3}}{2}$ +i( $\Large\frac{6-3-\sqrt{3}+9\sqrt{3}+6}{2}$ )
z_M = (5-33)+i( $\Large\frac{9}{2}$ -43)  OU  z_M = (5+33)+i( $\Large\frac{9}{2}$ +43)

J'ai dessiné les points A B, et les 2 points M tq. ABM est équilatéral, mais le résultat n'est pas celui attendu (il ne fait que ressembler vaguement)
Quelqu'un peut-il m'aider à repérer mon erreur que j'ai cherché à plusieurs reprises ?

Merci

PS : d'ailleurs j'ai fait beaucoup de boulot pour rien puisqu'ils ne demandaient qu'un point M qui convient, mais peu importe.

Posté par re : Triangle équilatéral 12-12-11 à 16:15

Passage de l'avant-dernière ligne à la dernière parties réelles
$5-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ et $5+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

Posté par re : Triangle équilatéral 12-12-11 à 16:30

Merci

Donc z_M=(5-(3/2)3)+i[(9/2)-43]
OU z_M=(5+(3/2)3)+i[(9/2)+43]

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