Bonjour

Tu es sur de ce que tu as trouvé pour tan(5x) ? moi pas vraiment ...

Vérifie tes calculs


jord

salut

5X - 10X3 + 10X + X5 = 1 - 10X2 + 5X4

X^5-5X^4-10X^3+10X^2+5X-1=0

et ceci c'est (X-1)^5-20X^3+20X^2=0

ou encore (X-1)^5 -20X²(X-1)=0

donc (X-1)*[(X-1)^4-20X^2]=0

X=1 non

reste (X-1)^4-20X^2=0
ce qui donne [(X-1)^2-XV20]*[(X-1)²+X*V20]=0
reste 2 cas qui vont donner chacun au plus 2 solutions.

reste a voir les cas qui conviennent a tan(Pi/20)...

a verifier et a continuer.

(X-1)^2+XV20=0 on a que des valeurs negatives donc pas bon.

(X-1)^2-XV20=0
donne deux solutions :

l'une donne 6,31... et l'autre 0,15....
(je ne donne que les valeurs approchees, si tu veux j'ai les valeurs exactes)

Pi/20 etant proche de 0 tan(Pi/20) doit l'etre aussi donc c'est 0,15...

qui correspond a la valeur exacte :

1+V5-V[5+2V5] (bref ca a une sale tete...)
a+

tan(5x) = (5tan(x) -10tan^3(x) + tan^5(x))  / (1 - 10tan^2(x) + 5 tan^4(x))

x = 9° --> 5x = 45° et tan(45°) = 1

Posons tan(9°) = t pour faciliter l'écriture, il vient:

(5t -10t³ + t^5)  / (1 - 10t² + 5t^4) = 1

(5t -10t³ + t^5)  = (1 - 10t² + 5t^4)

t^5 - 5t^4 - 10t³ + 10t² +5t - 1 = 0

Il peut y avoir 5 solutions, mais bien sûr une seule convient.

Comme tan(9°) est sensiblement égale à 9° exprimer en radian, on sait que

t = 1 est une solution évidente mais ne convient pas.

On peut diviser t^5 - 5t^4 - 10t³ + 10t² +5t - 1 par (t-1), le quotient est: t^4-4t³-14t²-4t+1

On a donc: t^4-4t³-14t²-4t+1 = 0

Il s'agit d'une équation du 4ème degré avec coefficients palyndrômes, il n'y a donc pas de problème pour trouver ses solutions (et retenir celle qui convient).

Un tel problème: "trouvez les solutions d'une équation polynomiale de degré 4 à coefficients palyndromes) a déjà été traité plusieurs fois sur ce site, tu devrais pouvoir retrouver ces topics par le moteur de recherche.
-----
Remarque, à partir de cette équation, ma calculette donne une des valeurs de t qui colle avec tg(9°) donc la piste semble bonne.
-----
Sauf distraction.  

Il y a un exemple traité d'une équation polynomiale de degré 4 à coefficients palindromes traité ici:

j ai un problème complexe

Bonjour,

Tu peux m'expliquer comment tu simplifie tan(5x), j'ai réussi avec cos(5x) et sin(5x) mais pas avec tan(5x)...

Merci !

Alors :

Pour Nightmare et Jmix90 :

Si je ne me trompe pas,

On a d'après Euler :

(cos x + i sin x)^5 = e(5ix) = cos(5x) + i sin(5x).

D'où :

cos(5x) = Re(e(5ix))
et
sin(5x) = Im(e(5ix))

e(5ix) = (cos x + i sin x)^5
= cos⁵
+ 5 i cos⁴(x)sin(x)
-10 cos³(x) sin²(x)
-10 i cos²(x)sin³(x)
+ 5 cos(x) sin⁴(x)
+ i sin⁵(x).

d'où en identifiant partie réelle et imaginaire (resp.ligne impaire et paire ci-dessus) :

cos(5x) = cos⁵
-10 cos³(x) sin²(x)
+ 5 cos(x) sin⁴(x)

et

sin(5x) = 5 cos⁴(x)sin(x)
-10 cos²(x)sin³(x)
+ sin⁵(x)

d'où :

tan(5x) = sin(5x) / cos(5x)

= (5 cos⁴(x)sin(x) -10 cos²(x)sin³(x)+ sin⁵(x)])
SUR
cos⁵ -10 cos³(x) sin²(x) + 5 cos(x) sin⁴(x)

==> On divise numérateur et dénominateur de cette grosse bébète pas (cosx)^5

et on se retrouve avec :

tan(5x) = (5tanx -10tan3(x) + tan5(x)  / (1 - 10tan2(x) + 5 tan4(x).

...Après ce dont je viens de me rendre compte c'est qu'il faudrait peut-être voir les cas ou (cosx)^5 = 0...mais ca devrait aller...
(cosx)^5 = 0
<=> cosx = 0
donc la relation ne serait que sur des intervalles du type : ]-pi/2 + k pi ; pi/2 + kpi[, k appartenant à Z...
Sans oublier que l'on doit avoir : 5x différent de pi/2 [pi], et le dénominateur différent de 0...(je le ferai un peu plus tard)...

Enfin bref, Nightmare je ne vois pas où je me suis trompé ? (tu as vu qq chose de particulièrement faux ?).

Merci à Minotaure et JP...je vais relire plus attentivement.

PS : ATTENTION : dans mon premier post, à la 1ère égalité il n'y a pas de 10X !
(s'il est possible de le supprimer, je le ferai)
(mais je crois que la plupart heureusement y ont échapper )

A bientôt.

Merci, c'est ballot en fait, mais j'avais oublié la méthode !!

Amicalement,

Voilà, j'ai lu la réponse de Minotaure, en effet solution finale = 1+V5 - V(5+2V5).

Par contre il y a une étape avec laquelle je suis d'accord mais que je ne comprend pas comment on passe d'une ligne à l'autre :

[...] tout va bien, on a :

X^5-5X^4-10X^3+10X^2+5X-1=0

et ceci c'est (X-1)^5-20X^3+20X^2=0

Comment est-on passé entre ces deux lignes ?
S'il s'agit de la méthode qu'indique JP, j'y vais de suite. Mais s'il ne s'agit pas de cela...Hum...peut-être du fait que les coefficients : 1  -4  -14  -4  1 sont symétriques...enfin bref...je vais voir la méthode de JP.

A+

Si tu veux, je continue ma démo à partir de la fin de ma réponse précédente.

Un peu long mais sans difficulté.

t^4-4t³-14t²-4t+1 = 0  

comme t = 0 n'est pas solution de l'équation, on divise les 2 membres par t² -->

t² - 4t - 14 - (4/t) + (1/t²) = 0  (1)

Poser T = t + (1/t)

T² = t² + 2 + (1/t²)

(1) -->

T² - 4T - 16 = 0

Dont les racines sont: T = 2 +/- V20  (avec V pour racine carrée).

Comme on sait que t > 0, T l'est aussi --> seul T = 2 + V20 peut convenir.

Comme T = t + (1/t), on a donc:

t + (1/t) = 2 + V20

t² + 1 = (2+V20)t

t² - (2+V20)t + 1 = 0

Dont les racines sont: t = [(2+V20) +/- V((2+V20)²-4)]/2

t = [(2+2V5) +/- V(4+4V20+20-4)]/2

t = [(2+2V5) +/- V(8V5+20)]/2

t = 1+V5 +/- V(2V5+5)

t1 = 1+V5 + V(2V5+5) = 3,256...
t2 = 1+V5 - V(2V5+5) = 0,158...

On a montré (voir début) que la solution ne peut-être que t2 et donc finalement:

tg(9°) =  1+V5 - V(2V5 + 5)
-----
Sauf distraction.  

quant a moi,
"on a :

X^5-5X^4-10X^3+10X^2+5X-1=0

et ceci c'est (X-1)^5-20X^3+20X^2=0
"
ce sont les coefficients de

X^5-5X^4-10X^3+10X^2+5X-1=0 :

1 -5 -10 10 5 -1

qui sont proches de :

1 -5 10 -10 5 -1 qui sont les coefficients de (X-1)^5


on aurait eut tort de s'en priver...

Merci beaucoup Minotaure; j'avais pas fait le lien avec les coefficients binomiaux. Je tâcherai d'y penser la prochaine fois

Merci JT, j'étais aller voir le post sur les coefficients palindromes...ca marche bien en effet

A+

JT comme journal télévisé ?

Je préfère J-P.