Niveau Maths sup

trigonometrie

Posté par
sympas91 28-07-10 à 12:15

bonjour,

demontrer que les angles a,b,c sont les angles d un triangle n a tg a+tgb+tgc=tga tgb tg c.
j ai fais ça :

c=pi-(a b) tgc=tg(pi-(a b))=-tg(a b) tg(a b)=tga tgb/-1tga tgb
tgc=-tga tgb/-1tga tgb

b =pi-(a c) tgb=tg(pi-(a c))=-tg(a c) tg(a c)=tga tgc/-1tga tgc
tgb=-tga tgc/-1tga tgc

a=pi-(b c) tgb=tg(pi-(b c))=-tg(b c) tg(b c)=tgb tgc/-1tgb tgc
tga=-tgb tgc/-1tgb tgc

le resultat est il bon?
et comment obtenir le
résultat : tga tgb tgc=tga.tgb.tgc

la je vois pas vraiment
merci

Posté par re : trigonometrie 28-07-10 à 13:03

Bonjour

Un petit dessin sur le cercle trigonométrique montre que $\tan(\pi-x)=-\tan(x)$ . Ainsi, si $a+b+c = \pi$ , on a
$\tan(c) = \tan(\pi-(a+b)) = -\tan(a+b) = -\frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}$ (selon une formule connue pour $\tan(a+b)$ ).
On en déduit alors
$\tan(a)+\tan(b)+\tan(c) = \tan(a)+\tan(b)-\frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)} = \frac{(1-\tan(a)\tan(b))(\tan(a)+\tan(b))-\tan(a)-\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)} \\ = \frac{-\tan(a)\tan(b)(\tan(a)+\tan(b))}{1-\tan(a)\tan(b)} = -\tan(a)\tan(b)\frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)} \\ = -\tan(a)\tan(b)\tan(a+b) = \tan(a)\tan(b)\tan(\pi-(a+b)) = \tan(a)\tan(b)\tan(c)$

Voila...