Niveau Licence Maths 1e ann

Trigonométrie

Posté par
pulplette 19-02-11 à 05:08

Bonjour, après avoir exprimé $cos5\theta$ et $sin5\theta$ avec des polynôme de $cos\theta$ pour l'un et de $sin\theta$ pour l'autre il faut en déduire la valeur de $cos(\frac{7\pi}{10})$ et $sin(\frac{\pi}{5})$ . Pour la première partie je n'ai pas rencontré de problème pour la seconde je ne vois pas comment procéder...
J'ai trouvé $cos(5\theta)=16cos^5(\theta)-2°cos^3(\theta)+5cos(\theta)$
et $sin(5\theta)=5sin(\theta)-20sin^3(\theta)+16sin^5(\theta)$

Ensuite j'ai un second problème avec une inégalité que je n'arrive à retrouver: $cos(\frac{2\pi}{7})+cos(\frac{4\pi}{7})+cos(\frac{6\pi}{7})=-\frac{1}{2}$
j'ai d'une part essayer avec les formules de transformation de somme en produit sans succès, d'essayer de faire apparaître des angles associés sans succès aussi et enfin d'exprimer chaque cos ce qui donne:
$cos(\frac{2\pi}{7})=cos^2(\frac{\pi}{7})-sin^2(\frac{\pi}{7}) \\ cos(\frac{4\pi}{7})=cos^4(\frac{\pi}{7})-6cos^2(\frac{\pi}{7})sin^2(\frac{\pi}{7})+sin^4(\frac{\pi}{7}) \\ cos(\frac{6\pi}{7})=cos^6(\frac{\pi}{7})-15cos^4(\frac{\pi}{7})sin^2(\frac{\pi}{7})+15cos^2(\frac{\pi}{7})sin^4(\frac{\pi}{7})-sin^6(\frac{\pi}{7})$
et en additionnant cela j'obtient finalement: $cos(\frac{2\pi}{7})+cos(\frac{4\pi}{7})+cos(\frac{6\pi}{7})=-1+12cos^2(\frac{\pi}{7})-40cos^4(\frac{\pi}{7})+32cos^6(\frac{\pi}{7})$
ce qui ne m'avance guère encore...

Merci

Posté par re : Trigonométrie 19-02-11 à 05:11

Désolé $cos(5\theta)=16cos^5(\theta)-20cos^3(\theta)+5cos(\theta)$

Posté par re : Trigonométrie 19-02-11 à 08:31

Bonjour pulplette,

Pour la deuxième question, posons $S=cos(\frac{2\pi}{7})+cos(\frac{4\pi}{7})+cos(\frac{6\pi}{7})$

Alors $2Ssin(\frac{\pi}{7})=2sin(\frac{\pi}{7})cos(\frac{2\pi}{7})+2sin(\frac{\pi}{7})cos(\frac{4\pi}{7})+2sin(\frac{\pi}{7})cos(\frac{6\pi}{7})$ .

Or $2sin(\frac{\pi}{7})cos(\frac{2\pi}{7})=sin(\frac{3\pi}{7})-sin(\frac{\pi}{7})$

$2sin(\frac{\pi}{7})cos(\frac{4\pi}{7})=sin(\frac{5\pi}{7})-sin(\frac{3\pi}{7})$

$2sin(\frac{\pi}{7})cos(\frac{6\pi}{7})=sin(\pi)-sin(\frac{5\pi}{7})$ .

Dès lors $2Ssin(\frac{\pi}{7})=-sin(\frac{\pi}{7})$

$2S=-1$

$S=-\frac{1}{2}$ .

Posté par re : Trigonométrie 19-02-11 à 23:46

Merci beaucoup Hiphigenie

Pour la première partie j'ai tenté de mettre sous la forme $3$ cos(5\theta)$ avec $\theta=\frac{7\pi}{50}$ mais ça ne permet pas de donner une valeur exact à $3$ cos(\frac{7\pi}{10})$ on a donc $3$ cos(\frac{7\pi}{10})=16cos^5(\frac{7\pi}{50})-20cos^3(\frac{7\pi}{50})+5cos(\frac{7\pi}{50})$ pour me sin(\frac{\pi}{5}) j'ai procédé de la même manière mais je ne vois pas comment aboutir...
Merci

Posté par re : Trigonométrie 20-02-11 à 00:15

bonsoir
cos((7pi/10)*5)=0 donc cos(7pi/10)annule ton polynome du 5eme degre
16x⁵-20x³+5x ,
tu factorises par cos(theta) et apres tu poses X=(cos(theta))²

pareil avec sin((pi/5)*5)=0donc sin(pi/5) annule ton polynome du 5eme degre que tu donnes a la 4eme ligne de ton msg de 5.08