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Trigonométrie
Bonjour,
J'ai besoin d'aide pour ce dm, voici l'énoncé :
Soit f la fonction définie sur R par : f(x)=e^(-x)*cos(x+pi/4)
1) Emettre des conjectures sur le sens de variation de la fonction f sur [0;pi]
Réponse : f décroissante sur [0;pi/2] et croissante sur [pi/2;pi]
2)a)Justifier que pour tout réel x, -e^(-x)<f(x)<e^(-x)
Réponse : -1<cos<1
-1<cos(x+pi/4)<1
-e^(-x)<e^(-x)*cos(x+pi/4)<e^(-x) car e^(-x)>0
b)Déterminer la limite de f en +inf
Réponse : lim e^(-x) =0 et lim cos(x+pi/4)=0 quand x->+inf
donc lim f(x)=0 quand x-->+inf
A partir de maintenant, je n'y arrive plus :
3)a)Montrer que pour tout réel t, cos(t+pi/4)+sin(t+pi/4)=racine2*cos*t
b) en déduire que pour tout réel x, f'(x)=-racine2*e^(-x)*cosx
c)Déterminer le sens de variation de f sur [0;pi]
4) Les courbes Cf et r d'équation y=f(x) et y=e^(-x) ont-elles la même tangente en chacun de leurs points communs.
Merci de votre aide !
Bonjour, applique les formules qui donnent cos(a+b) et sin (a+b) voir fiche : 
Premières formules de trigonométrie
Cos (a+b)= cos a * cos b - sin a * sin b
Sin (a+b) = sin a* cos b + cos a sin b
Donc on a : cos t*cos (pi/4) - sin t* sin(pi/4) + sin t* cos (pi/4)+ cos t* sin(pi/4)
C'est égal à racine2/2
donc : cos t * V2/2 - sin t* V2/2+sin t * V2/2+cos t * V2/2
= cos(V2/2)t-sin(V2/2)t+sin(V2/2)t+cos(V2/2)t
Une carotte + une carotte = deux carottes
donc : cos(V2/2)t+cos(V2/2)t = 2cos(V2/2)t
On simplifie par 2 ce qui donne cos (V2)t
d'où (V2)cos*t
Dérivée de e^(-x)=-e^(-x)
Dérivée de cos(x+pi/4) c'est de la forme cos(u)=-u'sin(u) mais je suis pas sûr.
tu n'as pas corrigé cette erreur
lim cos(x+pi/4)=0 quand x->+inf faux
Donc f'(x)=-e^(-x)*(-1)*sin(x+pi/4)=-e^(-x)*(-sinx)+V2/2 c'est faux
rappel
f=uv
f'=u'v+v'u
avec u(x)=e-x
v(x)=cos(x+π/4)
D'accord mais je ne comprends pourquoi la limite n'est pas égal à 0
f'(x)=u'v+uv' avec u(x) = e^(-x) ; u'(x) = -e^(-x) ; v(x) = cos(x+pi/4) ; v'(x) = -1sin(x+pi/4)
f'(x) = -e^(-x)*cos(x+pi/4)+e^(-x)*(-1)*sin(x+pi/4)
= -e^(-x)*cos(x+pi/4)-e^(-x)*sin(x+pi/4)
=-e^(-x)cosx+V2/2-e^(-x)*sin x+V2/2
=-2e^(-x)cos x sin x+V2/2
Je crois qu'il y a un problème, le sin x me perturbe.
f'(x) = -e^(-x)*cos(x+pi/4)+e^(-x)*(-1)*sin(x+pi/4)
= -e^(-x)*cos(x+pi/4)+e^(-x)*(-sin(x+pi/4))
=-e^(-x)cosx+V2/2+e^(-x)*(-sin x)-V2/2
Il me semble qu'il y a encore un problème.
-1≤cox(x+π/4)≤1
la fonction cosinus n'a pas de limite en +∞ , elle est périodique de raison 2π
OK
or d'après la question 3
(uv)' = u'v + uv' ;
uv' = e-x([cos(x + 
/4)]' = e-x[- sin(x + /4)] = - e-xsin(x + /4) .
Ensuite, mise en facteur de - e-x dans l'expression entière.
Dans la question 2a, les inégalités ne peuvent pas toutes être strictes.
-1 < cos(x+pi/4) < 1 avec x dans [0;pi] n'est pas correct.
C'est : -1 <= cos(x+pi/4) < 1
Et donc -e^(-x) < f(x) < e^(-x) qui est "à démontrer" est faux (pour x = 3Pi/4)
-----
-1≤cox(x+π/4)≤1
la fonction cosinus n'a pas de limite en +∞ , elle est périodique de raison 2π
or d'après la question 3
cos (x+pi/4)+sin(x+pi/4)=V2cos x
(uv)' = u'v + uv' ;
uv' = e-x([cos(x +
/4)]' = e-x[- sin(x + /4)] = - e-xsin(x + /4) .
Ensuite, mise en facteur de - e-x dans l'expression entière.
J'ai -e^(-x)*cos(x+pi/4)-e^(-x)*sin(x+pi/4)
=-e^(-x)[(cos(x+pi/4)(sin(x+pi/4)]
=-e^(-x)(cosx+V2/2)(sinx+V2/2)
Dans la question 2a, les inégalités ne peuvent pas toutes être strictes.
-1 < cos(x+pi/4) < 1 avec x dans [0;pi] n'est pas correct.
C'est : -1 <= cos(x+pi/4) < 1
Et donc -e^(-x) < f(x) < e^(-x) qui est "à démontrer" est faux (pour x = 3Pi/4)
-----
D'accord, merci.
Ah j'ai compris
f'(x)=-e^(-x)[(cos(x+pi/4)(sin(x+pi/4)]
or d'après la question 3,
cos (x+pi/4)+sin(x+pi/4)=V2cos x
d'où f'(x)=-V2e^(-x)*cos x
Juste ?
c) sens de variation de f sur [0;pi]
Réponse : f est croissante mais je ne sais pas comment justifier. Parce que racine de x>0 et e^(-x)>0 donc f'(x) croissante ?
4) Les courbes Cf et r d'équation y=f(x) et y=e^(-x) ont-elles la même tangente en chacun de leurs points communs ?
Je ne vois pas.
c) sens de variation de f sur [0;pi]
Réponse : f est croissante mais je ne sais pas comment justifier. Parce que racine de x>0 et e^(-x)>0 donc f'(x) croissante ?
il faut étudier le signe de f' sur [0;π]
f'(x)=√2e-xcos(x)
si f'(x)>0 alors f est croissante
si f'(x)<0alors f' est décroissante
tu as oublié d'étudier le signe de cos(x) sur [0;π]
fais-le et conclus
D'accord donc :
racine de x>0
e^(-x)>0
et cos x>0 sur [0;pi]
f'(x)>0 donc donc f est croissante sur [0;pi]
cos<=0 sur [0;pi]
regarde vraiment un cercle trigo !
Trigonométrie : enroulement de la droite des réelsJ'ai un petit soucis sur une équation qui parait simple mais je bloque :
sin2x=-racine carre 3/2 aidez moi sil vous plait merci
précise les valeurs de x sur [0;π] telles que
cos(x)>0 si ...<x<......
cos(x)=0 si x=......
et cos(x)<0 si ..<x<.....
-1 
cosx 1 ça oui c'est toujours vrai.
mais tu n'as toujours pas trouvé le signe du cosinus.
sinon pour les équations du type sin a = sin b appliquer le cours qui dit que :
sin a = sin b 
a = b + k2 ou a = -b + k2
COS(X)>0 si 0<X<pi/2
Je reprends le raisonnement en reprenant l'inégalité ci-dessus et j'en conclus que f'(X) >0 donc f croissante sur [0;pi]?
Donc f'(X)>0 si 0<X<pi/2
Et f'(X)<0 si pi/2<X<pi
Donc f est croissante sur [0;pi/2] et décroissante sur [pi/2;pi]
OK pour le signe de cos(x) sur [0;π]
cos(x)>0 si 0≤x<π/2
cos(x)=0 si x=π/2
cos(x)<0 si π/2<x≤π
NON pour le signe de f'
f'(x)=-√2*e^(-x)*cosx
Quel est le signe de -√2*e^{-x} ?
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