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Trois sommes de coeffcients binomiaux

Posté par
John_David 22-09-08 à 16:40

Bonjour tout le monde !

J'ai un petit exercice à vous soumettre car je galère bien dessus ^^

Soit j = e^{i\frac{2\pi}{3}}
\\ \\ \\ S_0 = \displaystyle\sum_{0{\le3k}{\le n}} \begin{pmatrix} n \\ 3k \end{pmatrix}


S_1 = \displaystyle\sum_{0{\le3k+1}{\le n}} \begin{pmatrix} n \\ 3k+1 \end{pmatrix}


S_2 = \displaystyle\sum_{0{\le3k+2}{\le n}} \begin{pmatrix} n \\ 3k+2 \end{pmatrix} \\

1/ Si n=7 Calculer S0, S1 et S2

2/ Ici n est un entier naturel quelconque.

Exprimer (1+j)^n et (1+j^2)^n en fonction de S_0 S_1 et S_2

Exprimer 1+j 1+j^2 sous forme polaire.
En déduire une expression de (1+j)^n + (1+j^2)^n

Calculer (1+j)^n - (1+j^2)^n

Déterminer S_0 S_1 et S_2


1/ je trouve S0 = 43 S1 = 43 et S2 = 42 et je remarque que S0 + S1 + S2 = 2^7 =  \displaystyle\sum_{k=0}^7 \begin{pmatrix} 7 \\ k \end{pmatrix}.

Après je bloque pour la 2) j'ai essayé avec le binome de newton mais je me retrouve avec du k parmi n et non du 3k parmi n donc j'ai du mal à faire apparaitre les sommes données.

Merci d'avance de me débloquer !

Posté par
Tolokobanre : Trois sommes de coeffcients binomiaux 22-09-08 à 16:53

Je n'ai pas pris le temps de faire les calculs,
mais on peut remarquer que pour tout k entier naturel, on a :
j = j^{3k+1}

Du coup, quelque soit l'exposant de k, tu n'aura que trois valeurs différentes de j^k.
Et on a trois coefficients...

Posté par
totti1000re : Trois sommes de coeffcients binomiaux 22-09-08 à 16:53

Bonjour John_David,
pour la 2 ok avec le binome de newton...
En effet (1+j)n=0knC(n,k) jk.1n-k.
En faisant le changement de variable k=3p on a:
(1+j)n=03pnC(n,3p) e(2i*3p)/3.
Or e(2i*3p)/3=e(2i*p)=1.
On retrouve S0.
Désolé pour le latex que je n'ai pas utilisé...

Posté par
John_Davidre : Trois sommes de coeffcients binomiaux 22-09-08 à 17:05

Yeah merci de vous interesser à mon petit exo ^^

--> Tolokoban, je suis d'accord avec toi mais je vois pas trop où ca va mener...

--> Totti1000 j'avais pensé faire un changement de variable mais comme je trouvais juste en fonction de S0 ça me plaisait moyen... Je vais essayer le changment de variable avec (1+j²)^n pour voir si je tombe sur du S1 et S2 ^^

Posté par
Tolokobanre : Trois sommes de coeffcients binomiaux 22-09-08 à 17:16

Si tu prends ce que te donne le binôme de Newton,
tu obtiens une somme que tu coupe en 3 morceaux
avec les k multiples de trois, les k congrus à 1 module 3 et les k congrus à 2 mod 3.

Tu peux le faire justement parce que tu pourra sortir ton j^k en facteur pour les trois morceaux.

Posté par
Tolokobanre : Trois sommes de coeffcients binomiaux 22-09-08 à 17:30

Allez, je prends le temps de détailler mes calculs :

(1+j)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} j^k

= \sum_{0 \leq 3k \leq n}{n \choose 3k} j^{3k} + \sum_{0 \leq 3k+1 \leq n}{n \choose 3k+1} j^{3k+1} + \sum_{0 \leq 3k+2 \leq n}{n \choose 3k+2} j^{3k+2}

= \sum_{0 \leq 3k \leq n}{n \choose 3k} + j \sum_{0 \leq 3k+1 \leq n}{n \choose 3k+1} + j^2 \sum_{0 \leq 3k+2 \leq n}{n \choose 3k+2}

= S_0 + j.S_1 + j^2 . S_2

Posté par
John_Davidre : Trois sommes de coeffcients binomiaux 22-09-08 à 17:31

Héhé d'accord j'ai compris où tu voulais en venir !

Voila ce que j'obtiens :

(1+j)^n = S_0 = j S_1 = j^2 S_2

et

(1+j^2)^n = S_0 = j^2 S_1 = j^4 S_2

Ca vous semble cohérent ?

Posté par
John_Davidre : Trois sommes de coeffcients binomiaux 22-09-08 à 17:35

Oki d'accord il fallait casser la grosse somme du binome bien sur !

Merci je comprend mieux maintenant et je comprend aussi carrément mon erreur du dessus ^^

Mes résultats sont les bons si je mets des + au lieu de = sinon j'oublie des "morceaux" du binome !

Posté par
John_Davidre : Trois sommes de coeffcients binomiaux 22-09-08 à 18:35

Bon suite de l'exo ^^

Sous forme polaire :

(1+j)^n = \frac {1} {2^n} e^{\frac{in\pi} {3}}

et

(1+j^2)^n = \frac {1} {2^n} e^{\frac{i2n\pi} {3}}


Là ou je bloque un petit peu c'est pour la somme et la différence des deux...
J'ai symétrisé de la même façon que j'avais fait pour mettre sous la forme polaire et j'obtiens :

(1+j)^n + (1+j^2)^n = \frac {1} {2^n} e^{\frac{in\pi}{2}} 2cos{\frac{n\pi}{6}}

et (1+j)^n - (1+j^2)^n = \frac {1} {2^n} e^{\frac{in\pi}{2}} -2isin{\frac{n\pi}{6}}

Ce qui est pas top top faut l'avouer ^^

Vous auriez une meilleure idée pour simplfier la somme et la différence ?

Posté par
jeansebre : Trois sommes de coeffcients binomiaux 22-09-08 à 20:59

Bonsoir

A mon avis, il faut faire des cas pour n, modulo 6. Les expressions vont dégonfler à la vitesse grand V!

Posté par
John_Davidre : Trois sommes de coeffcients binomiaux 22-09-08 à 21:18

Mes résultats étaient faux voila les bons ( j'avais oublié le 2 devant le cos )

(1+j^2)^n = e^{\frac{ni\pi}{3}}

et
\\ (1+j^2)^n = e^{\frac{i2n\pi} = j {3}} \\
Je dois passer à autre chose pour ce soir je m'y remet demain je vous tiens au courant ^^

Posté par
John_Davidre : Trois sommes de coeffcients binomiaux 22-09-08 à 21:19


****

(1+j^2)^n = e^{\frac{i2n\pi}{3}} = j

****


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