Bonsoir Rouliane

Pour montrer qu'elle n'est pas intégrable, l'astuce est de montrer qu'elle n'est pas intégrable sur un ensemble plus petit, où tu peux minorer la valeur absolue du sinus par un truc strictement positif (par exemple, ).

Citation :
désolé pour les questions un peu betes que je me pose ( et qui n'ont si ça se trouve aucun sens )

Merci Kaiser.

Conçernant la non-intégrabilité, je reste quand même au voisinage de +oo ou pas ?

Oui, bien sûr, sinon tu ne pourras pas conclure.
En effet, comme la fonction est continue et intégrable au voisinage de 0, on voit qu'elle est intégrable sur tout intervalle borné donc le problème vient de l'infini.

Kaiser

ok, mais je vois pas comment au voisinage de +oo la valeur absolue du sinus pourrait etre toujours plus grande que 1/2 par exemple...

Justement, ça c'est faux.
C'est pour ça que je te conseillais de te placer sur un ensemble plus petit où l'on avait effectivement cette inégalité.

Kaiser

ok.

Juste pour revenir un peu à ma remière question : si l'intégrale est absolument convergente, alors f est intégrable, non ?
mais pourquoi ?

C'est par définition,tu te places dans le cadre de l'intégrale de Lebesgue?

non, Riemann.

Il suffit de regarder la partie positive et la partie négative de ta fonction : ce sont des fonctions positives donc leur intégrabilité est équivalente à l'existence de leur intégrale.
Sinon, Rouliane, vois-tu où je voulais en venir pour montrer que ta fonction n'est pas intégrable ou alors ?

Kaiser

Tu veux montrer que si la valeur absolue est intégrable elle est intégrable?

Merci.

Je cherche Kaiser, je cherche Mais un petit indice ne serait pas de refus.

Non, Cauchy, comme je le disais plus haut, il existe des intégrales qui sont convergentes alors que la fonction n'est pas intégrale, et je me demandais donc si lorsque l'intégrale est absolument convergente, on ne peut pas dire que f l''est.

Je savais pas d'ailleurs que intégrabilité est équivalente à l'existence de leur intégrale pour des fonctions positives. vu que pour montrer qu'un eintégrale converge, j'ai toujours montré que la fonction était intégrable.

OK !
A quelle(s) condition(s) sur x, a-t-on ?

Kaiser

Je sais bien Kaiser, mais c'est dans le sens intégrale convergente ==> fonction intégrale que c'est pas naturel chez moi.
Dans l'autre sens, c'est évident.

Pour ton message de 21:54, je dirais

Pour ton message de 22h02 :

si f est une fonction positive sur I telle que son intégrale existe.
par définition, f est intégrable si et seulement si existe. Or f est positive donc |f|=f.
Ainsi, existe car elle vaut précisément .
C'est plus clair là ?

Pour ton message de 22h05 : c'est bien ça !

Kaiser

Merci.

Ca va paraitre idiot, mais je ne connaissais même pas ça : " f est intégrable si et seulement si   existe " , en fait, je connaissais l'implication, mais je n'utilise jamais la réciproque.

Pour ma part, je prends ça comme une définition de l'intégrabilité !
Pour toi, sinon, c'était quoi la définition de l'intégrabilité?

Kaiser

Que la limite existe

On va prendre un exemple :

si f est une fonction définie et continue sur alors pour toi f est intégrable si et seulement si

existe ?
C'est bien ça ?

Kaiser

non je dis n'importe quoi l'intégrale de 0 à l'infini de sin(t)/t est un exemple qui prouve que c'est faux il me semble.

J'ai mélangé avec intégrale convergente.

OK ! et si on revenais à nos moutons, à savoir la non-intégrabilité de ta fonction ?

Kaiser

Ce topic a le mérite de mettre toutes mes connaissances au clair

Ben je peux dire que sur l'ensemble que j'ai défini à 22:05 ma fonction est supérieur à 1/2x qui n'est pas intégrable.
Je m'arrete là ?

la valeur absolue bien sur de la fonction

Attention tout de même : on sait que la fonction inverse n'est pas intégrable sur mais on ne sait absolument rien de ce qui se passe sur un ensemble plus petit. On doit donc continuer la minoration pour montrer clairement que la fonction n'est pas intégrable.

Kaiser

Ben elle est pas non plus intégrable au vosinage de 0, non ?

Je vois pas trop ce qu'on fait en fait là

En 0, ta fonction n'a pas de problème car elle est prolongeable par continuité : il suffit de regarder ce qui se passe en l'infini.
On aimerait donc bien minorer la valeur absolue de la fonction par un truc pas intégrable.
On a du sinus multiplié par un truc qui n'est pas intégrable, donc l'idéal est de choisir un ensemble sur lequel |sin| est minoré par une constante strictement positive. Bien sûr, cet ensemble ne doit pas être trop petit sinon on ne pourra pas conclure.
Sur l'ensemble sur tu proposais, |sin| est minoré par 1/2.
L'idée est alors de minorer , par un truc qui tend vers l'infini lorsque n tend vers l'infini, auquel cas on aura gagné.

Jusque là, tu me suis ?

Kaiser

Ah d'accord, je vois, donc je minore simplement le |sin| et je trouve que l'intégrale est c'est ça ?

le terme de droite tend vers +oo, donc la limite de l'intégrale est +oo, donc f n'est pas intégrable.

Est ce juste ?

Une autre question qui me vient à l'esprit : si l'intégrale de f diverge ( avec f de signe non constant) peut-on dire que f n'est pas intégrable ?

J'ai du faire une erreur, parce que |sin| n'est pas plus grand que 1/2 sur l'intervalle considéré

C'est presque ça : en fait, on ne peut pas encore minorer ! une somme doit apparaitre
Il faut d'abord dire que cette intégrale est supérieure à



avec

Kaiser

Ah d'accord, il me semblait bien que ça clochait quelque part, merci beaucoup en tout cas !
C'était loin d'etre évident !

Je ne dis pas le contraire.
Il y a peut-être une solution plus simple mais bon je sais pas.
En tous cas, ce genre de raisonnement peut être utilisé même pour prouver que certaines séries ne sont pas absolument convergentes. D'ailleurs, je me souviens avoir traité ce genre de question sur le forum.
Je vais essayer de le retrouver (il date un peu )

Kaiser

Je ne disais pas que tu pensais ça simple, mais je pensais vraiment que ça se montrait en 5 secondes

Merci encore.

Tu peux répondre à mon post de 23:46 si t'en as le courage, stp ?

On peut pas dire directement que l'intégrale de |sin t | sur un intervalle de longueur 2pi vaut 2 et minorer par 1/rac(kpi) série de Riemann divergente.

J'ai retroué ce fameux topic mais ce n'était pas pour montrer la non convergence d'une série mais pour montrer qu'un truc ne tend pas vers 0.
Voici ce topic ! rayon de convergence

Quoi qu'il en soit, on peut utiliser la même technique pour montrer que les séries et divergent.

Pour ton message de 23h46 : je réfléchis (a priori oui)

Kaiser

Merci Kaiser.

Je crois avoir trouvé :

soit f une telle fonction.
Notons respectivement et ses parties positive et négative.

On sait alors que et

Par hypotèse , on sait que l'intégrale de f diverge donc on n'a nécessairement l'intégrale de qui diverge ou celle de qui diverge (dans le cas contraire, la somme des deux aurait une intégrale convergente ce qui est absurde).
par exemple, supposons que c'est celle de qui diverge (et donc elle est non intégrable car elle positive)
Or, on sait que

étant une fonction positive, alors elle n'est pas intégrable et donc l'intégrale de |f| diverge et f est alors non intégrable.
D'où le résultat.

Kaiser

Je crois que ce topic va profiter à pas mal de monde !

Merci Rouliane de l'avoir initié

et à kaiser de répondre

Merci beaucoup !

Je mets ce topic dans mes favoris parce que là y'a beaucoup de choses

Mais je t'en prie !

Je détaille mon truc:

Effectivement, c'est plus direct comme ça !

Kaiser

Je vois pas comment on motre ça :