Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

Trouver les matrices telles que Au=v

Posté par
Supradyn 07-07-16 à 12:55

Bonjour,

Je bloque sur l'exercice que voici:

Trouver toutes les matrices A \in U(2) qui ont la propriété Au=v avec u=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ c }1\\i \end{array}\right) et v=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ c }1+i\\1-i \end{array}\right).

J'ai posé \left(\begin{array}{ c c }a & b \\ c & d\end{array}\right) et j'ai directement utilisé Au=v et A \cdot A* = I mais j'en arrive à un système d'équations extrêmement long et quasiment insoluble, du coup j'imagine qu'il existe une solution plus simple, propre et rapide mais je ne la trouve pas.

Un coup de main serait donc le bienvenu. Merci d'avance pour vos réponses!

Posté par
Razesre : Trouver les matrices telles que Au=v 07-07-16 à 13:26

Tu as Au=v

Avec ça tu as 4 inconnues et deux équations trouve 2 inconnues en fonction des deux autres. Remplace dans ta matrice tu obtiendras A = k_1B+k_2C B et C étant des matrices déterminées.

Posté par
Supradynre : Trouver les matrices telles que Au=v 07-07-16 à 14:39

Je ne comprends pas ce que tu veux dire par "tu obtiens A=k_1 B + k_2 C, B et C étant des matrices déterminées".

En faisant ce que tu me proposes de faire j'obtiens ceci:

\left(\begin{array}{ c c } \frac{1}{\sqrt{2}} +i(\frac{1}{\sqrt{2}} -b) & b \\ \frac{1}{\sqrt{2}} -i(\frac{1}{\sqrt{2}} +d) & d \end{array} \right)

Et vu la tête que ça a je ne vois pas vraiment comment sortir b ou d de cette matrice pour en obtenir deux, B et C. Et même si c'était le cas, je ne vois pas vraiment non plus en quoi cela permet de résoudre l'exercice...?

Encore merci d'avance pour votre aide!

Posté par
Supradynre : Trouver les matrices telles que Au=v 07-07-16 à 14:43

En fait j'ai maintenant réécrit A de cette manière:

\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ c c } 1+i & \sqrt{2}b \\ 1-i & \sqrt{2}d \end{array}\right) + i\left(\begin{array}{ c } -b & -d \end{array}\right)

...mais ça ne m'aide pas vraiment davantage...

Posté par
Supradynre : Trouver les matrices telles que Au=v 07-07-16 à 14:53

Eeet je viens de me rendre compte que ce que je viens d'écrire ne veut rien dire, donc je me corrige:

\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{array}{ c c } 1+i & \sqrt{2}b \\ 1-i & \sqrt{2}d\end{array} \right) +i\left( \begin{array}{ c c } -b & 0 \\ -d & 0\end{array} \right)

Posté par
lafol Moderateurre : Trouver les matrices telles que Au=v 07-07-16 à 16:09

Bonjour
C'est peut-être le moment d'ajouter la contrainte A dans U(2), non ?

Posté par
Supradynre : Trouver les matrices telles que Au=v 07-07-16 à 16:22

En faisant cela, comme je l'expliquais dans la donnée, j'arrive à un système excessivement compliqué et impossible à résoudre sans un logiciel comme Mathematica. Ce n'est pas le but...

Posté par
lafol Moderateurre : Trouver les matrices telles que Au=v 07-07-16 à 16:25

un système excessivement long avec seulement deux inconnues ?
il ressemble à quoi ton système ?

Posté par
Razesre : Trouver les matrices telles que Au=v 07-07-16 à 16:28

Nous avons: Au=v \Leftrightarrow\begin{pmatrix}a &b \\c &d \end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ c }1\\i \end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ c }1+i\\1-i \end{array}\right)

D'où:
\left\{\begin{matrix}a+ib=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)\\c+id=\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=-ib+\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)\\c=-id+\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i)\end{matrix}\right.

Donc notre matrice s'écrit:
A=\begin{pmatrix}-ib+\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i) &b \\ -id+\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i) &d \end{pmatrix}=b\begin{pmatrix}-i & 1\\0 & 0\end{pmatrix}+d\begin{pmatrix}0 &0 \\-i & 1\end{pmatrix}+\frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix}(1+i) &0 \\(1-i) &0 \end{pmatrix}=bB+dD+\frac{\sqrt{2}}{2}E

Les matrices solutions sont une combinaisons linéaire de B, D,  et on ajoute \frac{\sqrt{2}}{2}E

Posté par
Supradynre : Trouver les matrices telles que Au=v 07-07-16 à 16:28

Vu que mes inconnues b et d sont des nombres complexes, ça fait 4 inconnues... la composante réelle et la composante complexe pour chaque nombre.

Du coup ça devient vite compliqué...

Posté par
Razesre : Trouver les matrices telles que Au=v 07-07-16 à 16:30

Ce n'est pas demandé que les coefficients de la matrice A sont réels.

Posté par
lafol Moderateurre : Trouver les matrices telles que Au=v 07-07-16 à 16:31

Pourquoi vouloir travailler dans IR ? \C aussi est un corps, tu as donc un système de deux équations à deux inconnues. veux-tu bien l'écrire ?

Posté par
lafol Moderateurre : Trouver les matrices telles que Au=v 07-07-16 à 16:32

Razes, c'est bien gentil de recopier ce qu'elle a déjà fait, ce n'est pas ça qui va la faire avancer ....

Posté par
Supradynre : Trouver les matrices telles que Au=v 07-07-16 à 16:33

Mille mercis Razes pour votre réponse!

J'ai d'abord cru que la matrice E était la matrice identité (à cause des notations de ma prof) mais j'ai compris maintenant

Posté par
lafol Moderateurre : Trouver les matrices telles que Au=v 07-07-16 à 16:35

Razes n'a rien fait de plus que toi à 14h39 ! juste écrit sous une autre forme.

Reste la condition A dans U(2) à exploiter

Posté par
Supradynre : Trouver les matrices telles que Au=v 07-07-16 à 16:38

Ah oui ce n'est pas faux. Mais du coup je ne vois pas comment faire ça simplement...

Posté par
lafol Moderateurre : Trouver les matrices telles que Au=v 07-07-16 à 16:39

il ressemble à quoi, ton système en b et d ?

Posté par
Supradynre : Trouver les matrices telles que Au=v 07-07-16 à 16:40

Qu'est-ce que vous voulez dire par "mon système en b et en d"?

Posté par
lafol Moderateurre : Trouver les matrices telles que Au=v 07-07-16 à 16:45

le système que tu obtiens en écrivant que A = \left(\begin{array}{ c c } \frac{1}{\sqrt{2}} +i(\frac{1}{\sqrt{2}} -b) & b \\ \frac{1}{\sqrt{2}} -i(\frac{1}{\sqrt{2}} +d) & d \end{array} \right) \in U(2)

Posté par
Supradynre : Trouver les matrices telles que Au=v 07-07-16 à 16:55

Sous cette forme-là je ne comprends même pas comment écrire le système tel que A \in U(2) parce que dans ma tête, justement, b et d appartiennent à \mathbb{C} et donc ils ont deux composantes. J'aimerais bien écrire A \cdot A^{*} = I mais je ne comprends pas vraiment comment le faire puisque b est un nombre complexe lui-même compris dans la composante complexe d'un autre nombre complexe...

Posté par
lafol Moderateurre : Trouver les matrices telles que Au=v 07-07-16 à 17:08

comment traduis-tu A.A* = I ?

Posté par
Supradynre : Trouver les matrices telles que Au=v 07-07-16 à 17:13

Ben je suis en train de traduire A.A*=I justement et j'arrive au même système impossible à résoudre que j'avais avant de venir poser ma question ici. Je ne vais pas écrire tout le système parce que c'est vraiment trop long  mais la première ligne ressemble à ça:

2{b_1}^2 + 2{b_2}^2+1-\sqrt{2}(b_1+b_2) = 1

Avec b = b_1 + ib_2 \in \mathbb{C} et d = d_1 + id_2 \in \mathbb{C}.

Cette équation correspond donc à la multiplication de la première ligne de A par la première colonne de A*.

Posté par
Razesre : Trouver les matrices telles que Au=v 07-07-16 à 21:04

Tu as A=\begin{pmatrix}-ib+\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i) &b \\-id+\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i) &d \end{pmatrix}

D'où: A^*=\begin{pmatrix}\overline{-ib+\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)} &\overline{-id+\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i)} \\ \overline{b} &\overline{d} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}i\overline{b}+\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i)&i\overline{d}+\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i) \\ \overline{b} &\overline{d} \end{pmatrix}

Tu peux calculer AA^*

Posté par
Supradynre : Trouver les matrices telles que Au=v 08-07-16 à 02:10

Non mais c'est inutile. Même sans développer b et le conjugé de b sous la forme b1+ib2, le calcul est infernal, infaisable. Même Wolframalpha n'y arrive pas!!!!!! Je viens de passer plus de 2h à faire les calculs et rien n'y fait, je n'arrive pas à trouver une seule valeur.

Donc il y a une autre méthode, sûrement beaucoup BEAUCOUP plus simple. Mais laquelle??

Posté par
Razesre : Trouver les matrices telles que Au=v 08-07-16 à 03:41

Il existe une écriture de la matrice avec seulement deux nombre complexe (avec leurs conjugués) et un angle. Qui te permettra un calcul plus facile.

Le hic, c'est que je ne m'en souviens plus.

Posté par
Supradynre : Trouver les matrices telles que Au=v 08-07-16 à 07:34

Bon je pense que je vais laisser tomber cet exo parce que je suis un peu fatiguée de m'énerver dessus. Mais c'est très gentil d'avoir essayé de m'aider en tout cas

Posté par
Recomic35re : Trouver les matrices telles que Au=v 08-07-16 à 07:35

1°) Compléter u en une b.o.n. (u,w)
2°) Un endomorphisme de \C^2 est dans U(2) si et seulement s'il envoie la b.o.n. (u,w) sur une b.o.n. . Il suffit donc de déterminer les b.o.n. dont le premier vecteur est v.
3°) Après, trouver les A solutions n'est pas sorcier.

Posté par
Supradynre : Trouver les matrices telles que Au=v 08-07-16 à 08:16

Tu veux dire qu'il faut trouver deux b.o.n, une dont le premier vecteur est u et l'autre dont le premier vecteur est v?

Posté par
Supradynre : Trouver les matrices telles que Au=v 08-07-16 à 08:23

J'ai trouvé que

a=b=c=\frac{1}{sqrt{2}} et d=-\frac{1}{sqrt{2}}

...Est-ce correct? ça me paraît bizarre...

Posté par
Supradynre : Trouver les matrices telles que Au=v 08-07-16 à 08:25

Oh mon dieu ça fonctionne.

MILLE MERCIS!!!!!!!

Posté par
Recomic35re : Trouver les matrices telles que Au=v 08-07-16 à 09:25

Ne te réjouis pas trop vite ! Tu as trouvé UNE solution. On te demande TOUTES les solutions.

Posté par
Supradynre : Trouver les matrices telles que Au=v 08-07-16 à 09:42

Jusqu'à maintenant j'avais le choix entre ne donner aucune réponse et donner au moins une réponse. Et comme je dois rendre mes exercices dans quelques heures, je ne pense pas que je vais m'attarder davantage dessus...

Mais merci beaucoup déjà pour cette réponse


Rechercher
Menu
Espace membre
19 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1742 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !