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Trouver lracines cubiques complexe
Posté par Ckenymis
Bonjour,
Je dois trouver les racines cubiques de ((√3)+i)/((√3)-i), mais je ne pense pas avoir la bonne méthode.
J'ai posé z=((√3)+i)/((√3)-i)=0,5 +(2(√3)/4)i
J'ai calculé module de z, j'ai trouvé module de z= 1 et arg(z)=π/3 donc z=e(π/3)i et donc z^(1/3)= e(π/9)i
Mais je ne pense pas que mon resultat corresponde à l'ensemble des racines cubiques de z...
Merci pour votre aide !
Bonjour !
Quand on connait une racine cubique, on les trouve toutes (il y en a trois) en multipliant par les racines cubiques de l'unité.
((√3)+i)/((√3)-i) = (V3 + i)²/(3+1) = (3 - 1 + 2V3.i)/4 = 1/2 + (V3)/2.i = cos(Pi/3 + 2k.Pi) + i.sin(Pi/3 + 2k.Pi) = e^(i.(Pi/3 + 2k.Pi))
z³ = e^(i.(Pi/3 + 2k.Pi))
z = e^(i.(Pi/9 + 2k.Pi/3))
On a les 3 racines en remplaçant k par 0 , 1 et 2
z1 = e^(i.Pi/9)
z2 = e^(i.(Pi/9 + 2Pi/3)) = e^(i.7Pi/9)
z3 = e^(i.(Pi/9 + 4Pi/3)) = e^(i.13Pi/9)
