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Tvi
Coucou tout le monde, voici un nouvel exercice qui me donne du fil à retorde !
Soit une fonction f : {0,1} -> {0,1}
1. Montrer que si f est continue, alors elle admet (au moins) un point fixe, ce qui signifie qu'il existe (au moins un) tel que f(
) =
( Indice : utiliser le TVI)
2. Donner un exemple de fonction f: {0,1} -> {0,1} n'admettant pas de point fixe.
3. On suppose désormais que f: {0,1} -> {0,1} est croissante; on veut montrer que f admet un point fixe. On construit pour cela par récurrence deux suites (an) avec n un entier et (bn) avec n un entier de la façon suivante: a0= 0, b0 = 1 et une fois construits an et bn pour un certain n entier, an+1 et bn+1 sont définis par :
(an+1, bn+1) = (an, (an + bn)/2) si f((an + bn) /2) (an + bn) / 2
Sinon = ( (an + bn)/2 , bn )
i) Montrer que les suites ainsi construites sont adjacentes.
ii) Montrer que := lim n-> +∞ an est un point fixe de f.
Ma résolution:
1/ On a {0,1} = I un intervalle de R. La fonction f est continue sur I.
On note a et b appartenant à I
Si f() est entre f(a) et f(b), il existe alors
entre a et b tel que f(
) =
.
Mais ceci ne répond pas vraiment à la question... Comment pourrais je conclure?
2/ Par ex la fonction f(x)=x+1 car n'est jamais égale à f(x)=x.
3/ Je ne sais pas du tout comment partir je suis perdue...
Merci d'avance pour votre aide, à très vite les matheux !
Bonjour !
Pour 1. considères la fonction
Pour 2. l'exemple que tu donnes n'est pas à valeurs dans : il faut chercher du côté des fonctions qui ne sont pas continues.
Pour 3. i. Me semble évident
pour 3.ii. il faut te souvenir qu'une fonction croissante admet une limite à gauche en qui est supérieure aux valeurs de
sur
Coucou à vous deux !
1.Après avoir posé g(x) = f(x) - x je dois partir comment? Je ne vois pas du tout ce que je dois utiliser la... Car f(x) n'est pas donnée...
2. Mais f(x)=x+1 est bien définie en {0,1} -> {0,1}
3.i Pour moi ce n'est pas du tout évident je ne comprend pas et n'est jamais vu les suites "adjacentes"...
f(x) = x + 1
f(0) = ...
f(1) = ...
il faudrait se mettre à travailler sérieusement avec un brouillon et en utilisant sa cervelle ...
connais-tu le TVI ?
Je travaille sérieusement j'ai déjà passé plusieurs heures sur cet exercice donc si c'est pour être vexant comme ça ce n'est pas la peine de venir m'aider... Merci quand même.
Sauf que ce n'est pas très sérieux de prétendre que envoie
sur lui-même !
Tu as été invité à calculer . L'as-tu fait ?
As-tu essayé de voir les signes de en 0 et 1 ?
Si quelqu'un pourrait m'éclairer gentillement avec cet exercice...
1. On veut prouver que :
f continue => il existe appartenant à {0,1} tel que f(
) =
TVI : si f est continue dans {a;b}, alors pour tout k entre f(a) et f(b), il existe c appartenant à {a,b} tel que f(c) = k
Je pars avec :
f est définie de {0,1} -> {0,1} et est continue donc f est continue dans {0,1}.
On m'a conseillé de poser g(x)= f(x) - x
Mais je ne sais pas à quoi cela sert et ensuite je ne comprends pas comment partir avec ces infos..
2. J'ai compris pourquoi f(x) = x + 1 ne convenait pas mais comment trouver une fonction comme celle demandé?
3. (i) def: deux suites sont adjacentes (an) et (bn) si l'une est croissante et l'autre décroissante et si la différence des deux converge vers 0.
Mais je ne comprend pas comment montrer que ces suites sont croissantes et décroissantes car je n'ai jamais vu cette notation pour les suites et je ne comprend pas vraiment... Les deux sont définies ensemble?
si tu ne comprends pas à quoi cela sert alors :
f : [0, 1] --> [0, 1] et f est continue
g(x) = f(x) - x
g est évidemment continue
g(0) = ... ?
g(1) = ... ?
conclusion : g : [0, 1] --> .... ?
puis application du TVI ...
J'ai donc g(0) = f(0) - 0 = f(0) et g(1) = f(1) - 1
Conclusion: g: {0,1} -> {0,0} ?
Non ça ne doit pas être ça... La réponse me semble bizarre et je ne comprend vraiment pas...
Je ne réussi vraiment pas à comprendre cet exercice...
Pour tout , l'on a
, par définition de
(pas besoin de la continuité de
ici). Ok ?
Partant, l'on a en particulier , de sorte que
. Ok ?
Ensuite utiliser la continuité de et donc celle de
(pourquoi ?) et utiliser le TVI !!
j'ai déjà passé plusieurs heures sur cet exercice
Il vaut mieux passer plusieurs heures sur son cours afin de bien le comprendre. Ok ?
j'ai déjà passé plusieurs heures sur cet exercice
Il vaut mieux passer plusieurs heures sur son cours afin de bien le comprendre. Ok ?
il vaut mieux passer peu d'heures sur son cours et un exercice d'application et en réfléchissant sur le pourquoi du comment et les hypothèses et leur utilisation ...
...
2. J'ai compris pourquoi f(x) = x + 1 ne convenait pas mais comment trouver une fonction comme celle demandée?
La réponse était dans mon message du 09-10-16 à 10:15 : "essaies avec une fonction qui n'est pas continue" !
Voilà ce que je note donc pour la question 1 :
On pose g(x) = f(x) - 1
x appartient à {0,1} => 0 f(x)
1 => g(0) = f(0)
0 et g(1) = f(1) -1
0 car g(1) = f(1) - 1
1- 1
0
On sait d'après l'énoncé que f est continue donc g l'est aussi puisqu'elle est composée de f (continue) et d'une fonction constante continue elle aussi.
(On a donc 0 g(x)
0 )
f est continue dans {0,1}, alors pour tout k entre f(0) et f(1) il existe appartenant à {0,1} tel que f(
) = k
Mais je ne comprends toujours pas à quoi sert la fonction g et comment prouver que k = .
Pourtant je le connais mon cours ainsi que le TVI que j'applique...
Merci tout de même ThierryPoma d'avoir essayé de m'aider...
Oui je me souviens de ta réponse Lukaz mais je ne trouve pas de fonction non continue je ne connais que la fonction partie entière qui ne convient pas ici...
Je pense que je vais abandonner cet exercice, merci à vous tous pour votre aide et bonne soirée 
On pose g(x) = f(x) - 1
x appartient à {0,1} => 0
faux
et ne pas connaitre les [] sur son clavier ....
La fonction en escalier est à valeurs dans
et il n'y a pas de réel égal à son image.
Tu devrais, après toutes ses aides, avoir compris que tu dois appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction continue (et non pas -1 comme tu l'as écrit) car tu as
: Il existe donc une valeur
qui annule
et
c'est exactement
Est ce que si je fais ça c'est bon :
On cherche a démontrer que si f est continue sur {0,1} elle admet au moins un point fixe c'est-à-dire que f() =
avec
appartenant à {0,1}
On a donc f(
On défini g(
Trouver un point fixe signifie que g(x) = 0
On suppose que f(0) > 0 et f(1) > 1 sinon il y aurait un point fixe
On a donc f(1) - 1 < 1- 1 donc g(1) < 0
On peut appliquer le TVI car g(1) < g() < g(0)
Il existe donc un tel que g(
) = 0 et donc un
tel que f(
La fonction est continue sur
comme somme de fonctions continues sur
. D'autre part, comme nous l'avons déjà vu, l'on a
et
(par définition même de
). Par conséquent, en vertu du TVI appliqué à
, il existe nécessairement au moins
tel que
, soit
comme attendu.
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