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Niveau terminale
un exercice sur les produits scalaires
Posté par paul35
Bonjour,
Voici un exercice qui me pose quelques problèmes!
ABCDEFGH est le cube d'arete 1 (ABCD face du bas et EFGH face du haut)
L'espace est muni du repere orthonormal (A,AB,AD,AE)
On designe par "a" un reel strictement positif.
L,M et K sont les points definis par : (les segments sont des vecteurs)
AL=aAD , AM=aAB , CK=aCG.
1)a)calculer le produit scalaire EM.EL
b)en deduire la valeur ,en fonction de a, de cos (MÊL).
c)En deduire que sin (MÊL) = (a racine de (a^2+2))/(1+a^2)
d)calculer l'aire du triangle ELM
e)demontrer que la droite (AK) est orthogonale au plan (ELM)
2)on note P le projete orthogonal de A sur le plan (ELM)
a)demontrer que AM.AK=AP.AK
b)les vrecteurs AP et AK etant colineaires ,on note alpha le reel tel que AP= (alpha)AK
Demontrer que alpha = a/(a^2+2).
En deduire que P appartient au segment [AK].
c)determiner les coordonnees de P
d)Exprimer PK en fonction de AK
En deduire que PK=(a^2-a+2)/(V(a^2+2)
Mes réponses :
1/ a)
EM = EA+AM = EA+aAB
EL = EA+AL = EA + aAD
=> EM.EL = (EA+aAB).(EA+aAD)
= EA²= 1
b) EM = EL
VectEM.vectEL = EM.EL.cos(MEL)
=> (vectEM.vectEL)/EM.EL = cos(MEL)
=> 1/EM.EL = cos (MEL) et la je suis bloqué je ne sais pas comment trouver la valeur de EM et EL donc je ne peux déduire la valeur de cos (MEL) à partir de a . ^^
Si quelqu'un peut m'aider ça serait super =).
Tu peux donner une valeur quelconque au coefficient a , par exemple 3/4, pour placer ces points sur le cube, cela juste pour la figure.
E(0,0,1) L(0,a,0) M(a,0,0)
EL(0-0,a-0,0-1) => EL(0,a,-1)
EM(a-0,0-0,0-1) => EM(a,0,-1)
||EM|| = Va²+(-1)²
||EL|| = Va²+(-1)²
Donc EM.EL = a² + 1
On sait que Vecteur EM.vecteur EL = EM.EL.cos(MEL)
Soit (Vecteur EM.VecteurEL)/(EM.EL) = Cos(MEL)
=> 1/(1+a²)=Cos(MEL)
Est ce que c'est bon comme ça ?
Pour le 1/d) je dois calculer l'aire du triangle ELM :
Je fais (EM.EL)/2 ?
je ne pense vraiment pas que ça soit ça ^^'.
1/d) L'aire d'un triangle est donnée par l'expression 1/2 base x hauteur.
Ici, on ne connaît aucune hauteur du triangle ELM.
Je te conseille donc de dessiner à plat le triangle et d'utiliser le résultat du c) pour calculer l'une de ses hauteurs.
EL = EM
Donc ELM est un triangle isocèle ayant pour base ML
aire du triangle isocèle ELM = (ML.EM)/2 ou (ML.EL)/2 ?
Aire du triangle = B.H.(1/2)
= ML.H.(1/2)
Admettons que la hauteur issue de E coupe ML en un point S. Si on dit qu'il y a dans le triangle isocèle un triangle EMS rectangle en S, et un triangle ELS rectangle en S.
Sin(MEL)= MS/EM = (aVa²+2)/(1+a²)
Soit MS = aVa²+2 => B= 2MS= ML = 2aVa²+2
et EM = 1+a²
Donc aire du triangle = 2aVa²+2.H.(1/2)
Pour trouver H(plus précisément ES) on utilise pythagore dans le triangle EMS rectangle en S
ES²=EM²- MS²= (1+a²)²-(aVa²+2)²
Je crois que je me perd la je ne vois vraiment pas comment m'y prendre, et je rentre dans une démarche un peu longue 
Je ne comprends pas bien ton calcul. Je procéderais plutôt ainsi :
L'aire du triangle ELM est égale à 1/2 ML*ES.
La base ML est facile à calculer.
Quant à la hauteur ES, on peut la calculer dans le triangle SEL où l'on a sin(SLE) = ES/EL.
Ha non !!! c'est bon j'ai trouvé 
Sin(MEL)= MS/EM= (aVa²+2)/(1+a²)
Sin(SEL)= 1/2 . Sin(MEL)
Donc Sin(SEL)= (aVa²+2)/(1+a²) / 2
Comme c'est l'angle (MÊL) qui est connu (par son sinus), il serait plus simple de prendre EM pour base et la hauteur issue de L pour calculer l'aire du triangle ELM, cette hauteur pouvant être calculée à l'aide du sinus de cet angle.
Je crois que ce serait plutôt sin(MEL) = sin(LME) = ES/EM. On peut en tirer la valeur de la hauteur ES.
Voila ce que je trouve:
aire du triangle = ML.ES.(1/2)
= MS.ES
= (aVa²+2).ES
On cherche ES:
Sin(MEL)= MS/EM= (aVa²+2)/(1+a²)
Sin(SEL)= 1/2 . Sin(MEL)
Donc Sin(SEL)= (aVa²+2)/(1+a²) . 1/2
= (aVa²+2)/(2+2a²)
Sin(SEL)= ES/(aVa²+2)
Soit (aVa²+2)/(2+2a²)= ES/(aVa²+2)
=> ES = (aVa²+2).(aVa²+2)/(2+2a²)
=> ES = (a²(a²+2))/(2+2a²)
=> ES = (a²+2)/4
aire du triangle = (aVa²+2).ES
= (aVa²+2).((a²+2)/4)
= ((a^3Va²+2).(2aVa²+2))/4
J'ai du mal à comprendre. Tu écris aire du triangle = ML.ES(1/2) , ce qui est juste. Mais pourquoi après " = MS.ES " . Est-ce que ML serait égal à 2ES ? Ensuite, d'où tires-tu la valeur de MS ?
Je te renouvelle mon conseil de 22h30.
Par cette méthode, je trouve : aire du triangle ELM = (a/2)
[2(a² + 2)/(1 + a²)] .
Réponse à votre message de 9h27 :
J'ai transformé ML.ES.(1/2) en MS.ES parceque ML/2=MS
étant donné que j'ai déja trouvé MS, il ne me reste plus qu'à trouver ES.
Une fois ES trouvé il me faut effectuer le calcul : MS.ES pour trouver l'aire du triangle.
Je vais éssayer de comprendre votre méthode, car je ne sais pas si la mienne est juste ^^.
Parceque la hauteur issue de E coupe ML en s.
Et comme c'est un triangle isocèle. La hauteur coupe ML en son milieu, donc ML=2MS
Nous n'avons pas la même figure . . . .
Je comprends que, chez toi, le point S est le milieu de EM et la hauteur du triangle ELM est LS. .
En fait, tu mets en ouvre la méthode de mon message de 22h30.
Mais, il y a toujours certaines choses dans ton calcul que je ne comprends pas. Par exemple les angles SEL et MEL sont, avec le point S ainsi placé, un seul et même angle. Ils devraient donc avoir le même sinus !
J'ai refait ma figure et je vois effectivement que SÊL = 1/2 MÊL.
Mais il n'en résulte pas que sin SÊL = 1/2 sin MÊL !
cos MÊL a été calculé au début. On peut en déduire cos SÊL = cos MÊL/2 . D'où la hauteur ES.
Alors j'obtiens:
Cos(MEL)= 1/(1+a²) = ES/EM
Soit ES=1 et EM = 1+a²
On sait que ML = 2MS
Aire du triangle = B.H.1/2
= ML.ES.1/2
= ML/2
= MS
= aVa²+2
Non, c'esr cos(MEL/2) qui vaut ES/EM.
Pour en déduire la valeur de ES, il faut exprimer cos(MEL/2) en fonction de cos MEL dont la valeur est connue.
???
Il y a une formule connue qui permet d'exprimer le cosinus d'un angle a en fonction du cosinus de l'angle double 2a . C'est la suivante : cos 2a = 2cos²a - 1.
Utilise-la pour exprimer cos(MEL/2) en fonction de cos MEL .
Ensuite tu pourras calculer ES.
Je n'y arrive pas... =s je suis vraiment pas doué...
Pourtant j'ai réussi à faire tout le reste de l'exercice...
Cette formule peut s'écrire cos²a = (cos2a + 1)/2.
On a donc ici cos²(MEL/2) = [cos (MEL) + 1]/2 .
D'où cos(MEL/2), puis ES.
EMcos(MEL/2)= EM.V(2+a²)/(2+2a²)
Donc: Cos(MEL/2)= V(2+a²)/(2+2a²)
=>V(2+a²)/(2+2a²) = ES/EM
Soit ES= V(2+a²)
EM= (2+2a²) ?
ES = EMcos(MEL/2) = EM[(2 + a²)/(2 + 2a²)].
Remplace EM par sa valeur (1 + a²) et tu auras l'expression de ES en fonction de a .
Puis tu pourras écrire l'expression de l'aire du triangle ELM en fonction de a .