salut

pour la 2) pense à la somme des termes d'une suite géométrique

j'avoue ne pas y avoir pensé... le z différent de 1 aurait du pourtant attirer mon attention...

donc si z1

z^4+z^3+z^2+z+1=(1-z⁵)/(1-z)

d'où la réponse à la question 2) ^^

Beaucoup plus rapide que ma méthode et surtout beaucoup plus rapide (et donc moins de risque de se tromper...)!

Lorsque l'on résout 4x²+2*x-1=0 on trouve x1=(-1+5)/4 et x2=(-1-5)/4... mais je ne vois pas trop comment répondre à la question 3)...

Donc les racines 5è de l'unité dont

En particulier, pour , on a (d'après 2).

Maintenant, regarde que vaut pour i=2..4, et ce serait cool de faire apparaître un cos via les formules d'Euler

On a:
₂=exp(i2/5)

₂²=exp(i4/5)

₂³=exp(i6/5)

₂⁴=exp(i8/5)


Formule d'Euler
e^ix=cosx + isinx

1+cos(2/5)+cos(4/5)+cos(6/5)+cos(8/5)+ i (sin(2/5)+sin(4/5)+sin(6/5)+ sin(8/5) ) =0

je ne vois pas comment en déduire que cos(2PI/5) est solution de 4x²+2*x-1=0

Ok, et maintenant fais un cercle trigo et écris tout en fonction de cos(Pi/5) et cos(2*Pi/5) (et sin(Pi/5) et sin(2*Pi/5))

cos(/5)
cos(2/5)
cos(4/5)= -cos(/5)
cos(6/5)= -cos(/5)
cos(8/5)=  cos(2/5)

sin(/5)
sin(2/5)
sin(4/5)=sin(/5)
sin(6/5)=-sin(/5)
sin(8/5)=-sin(2/5)

Si j'ai bien tourné on trouve ça...

D'ou
1+cos(2/5)+cos(4/5)+cos(6/5)+cos(8/5)+0
=1+2*cos(2/5)-2*cos(/5)=0

Nous nous rapprochons du but... peut être faut il exprimer à l'aide du formule trigonométrique cos(/5) en fonction de cos(2/5)...?

Je pense aussi que c'est une très bonne idée (genre cos(2x)=..)

cos(2x)=2*cos²(x)-1

D'ou en reportant dans ce qui précède on a:

1+2*cos(2/5)-2*cos(/5)=1+2*2*cos²(x)-2-2*cos(/5)=4*cos²(x)-2*cos(/5)-1=0

Donc cos(/5) est solution de l'équation 4x²-2x-1=0

(je suppose que quelques coquilles se sont donc glissé dans l'énoncé (signe - et solution de l'équation)...ou que je me suis trompé quelque part... qu'importe l'essentielle c'est que j'ai compris comment il fallait procéder.. et surtout qu'il ne fallait pas se fier au verbe "déduire" ^^)

Oui toutafé il y avait une coquille dans l'énoncé

L'équation permet de trouver la valeur exacte de cos(Pi/5).
Après on retrouve les valeurs demandées avec des formules de trigo.

Pour la question 5) je trouve que la question est peut claire... car au début on va de 2 en 2 et le terme géneral de Sn est cos(n/5)...

Enfin hormis ce petit détail je dirais que selon les valeurs de n on a:

Sn=1
Sn=1+cos(2/5)
Sn=1+cos(2/5)+cos(4/5)
Sn=1+cos(2/5)+cos(4/5)+cos(6/5)
Sn=0


Par contre pour le rayon de convergence je suis un peu embêté car les Sn s'annule et donc le critère de d'Alembert tombe à l'eau...

Je pense aussi qu'il s'agit de

A priori je dirais :

cos = partie réelle de exp(I..
puis formule de la somme des termes d'une suite géométrique

Mais il doit y avoir des simplifications ..

6) En fait on connaît Sn en fonction de n (la suite des Sn est 10-périodique), et du coup on en déduit que R=1.

J'aurais dis 5-périodique... mais je ne vois pas trop le rapport entre la périodicité et le rayon  de convergence...?

Maple dit 10-périodique Attends je prends un stylo donc.

Ce que j'aurais dit :

Les rayons de convergence des séries entières de termes généraux sont tous égaux à 1, donc celui de la série des S_n x^n aussi. Enfin je pense.

Attends jsuis un noob, j'ai dit à Maple de calculer la somme des cos(kPi/5) au lieu de cos(2kPi/5).

Donc tu as raison, elle est 5-périodique, et du coup il suffit de considérer

ok!
Ainsi s'achève l'exo^^
En tout cas je ne me fais pas trop de souci pour la suite te concernant^^ (pour ma part, y a encore pas mal de chemin À faire :p lol)
Merci! et qui sait, on sera peut-être amené à se croiser sans même qu'on le sache ^^

Ouep, on a gagné !
Si tu peux te faire du souci, il n'y a pas que les maths, j'ai pu le constater à centrale avec la chimie Foutus diagrammes moléculaires va. Je te souhaite aussi bon courage pour l'ESTP! Oui on se recroisera surement, sur l'ile ou aux oraux si ça se trouve:

Re !

J'ai trouvé mieux pour le rayon de convergence ^^

donc

Et comme la suite diverge, on a

Finalement R=1, sauf erreur!