Pour le cas n=1,il y a une solution:la matrice nulle
Pour le cas n=2 j'ai trouvé 3 solutions:la matrice nulle,E12 et E21
Pour le cas général,j'ai commencé par écrire la matrice M=(mij) dans la base canonique de Mn(
) comme elle est à coefficients dans {0,1} on a:
M=
Eij
(i,j)
S
où S={(i,j)
{1,..,n}²/mij=1}
on sait alors que: M²=
Eij*Ekl
(i,j),(k,l)
S
ie: M²=
jk*Eil
(i,j),(k,l)
S
(
ij désignant le symbole de Kronecker)
donc pour avoir M²=0 il faut et il suffit que:
jk=0 pour tout (i,j) et (k,l) de S
On voit alors que le probléme revient à dénombrer l'ensemble des parties S de {1,..,n}² telles que X(S)
Y(S)=
(X et Y désignant les 2 projections de {1,..,n}²)