Niveau Maths sup

Un peu de Trigo ...

Posté par Romain78 (invité) 14-09-06 à 22:17

Bonsoir à tous,

voilà ca fait un petit momment maintenant que je planche sur ce problème, et après avoir tournées et retournées plusieurs fois les formules de trigo je n'arrive pas à mes fins.

Soit a=Arcsin(1+5)/4

0) Exprimer cos(4x) en fonction de sin(x)
1) Montrer que cos(4a)=cos(/2+a)

Posté par re : Un peu de Trigo ... 14-09-06 à 22:49

hola,

c'est du calcul..

cos(4x) = 2cos²(2x) -1 = 2(1-2sin²(x))² -1

sin(a)= (1+rac(5))/4
sin²(a) = (6+2rac(5))/16
1-2sin²(a) = (1-rac(5))/4
(1-2sin²(a))² = (6 - 2rac(5))/16 = (3-rac(5))/8
2(1-2sin²(a))² -1 = -(1+rac(5))/4 = -sin(a) = cos(a+pi/2)

D.

Posté par re : Un peu de Trigo ... 14-09-06 à 23:12

Bonsoir
cos4x=2cos²2x-1
=2(1-2sin²x)²-1
=8sin^4x-8sin²x+1
la suite est du calcul qui me semble ch...

cos(pi/2+a)=-sina
tu écris l'équation
-sina=8sin^4a-8sin²a-1
et logiquement
(1+V5)/4 devrait être racine de cette équation
ce qui n'est pas évident à vérifier
salut

Posté par re : Un peu de Trigo ... 14-09-06 à 23:28

Bonsoir.
J'utilise : cos2X = cos²X - sin²X, cos2X = 1 - 2sin²X, sin2X = 2sinXcosX.
Alors :
cos4x = cos²2x - sin²2x = (1 - 2sin²x)² - 4sin²x(1 - cos²x). Les calculs me donnent :

cos4x = 8sin⁴x - 8sin²x + 1.

On remplace sina par le nombre proposé et je trouve :
$2$\textrm sina = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \Longrightarrow cos4a = -\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ .
Ceci est bien la réponse souhaitée puisque l'on sait que, pour tout X :
cos(/2 + X) = - sinX.
Cordialement RR.

Posté par Romain78 (invité)re : Un peu de Trigo ... 15-09-06 à 17:15

Bonjour,

je viens de trouvé ca cet aprés midi au lycée, et vous avez tous raison.

Je vous remercie, pour vos réponses.

Posté par Romain78 (invité)re : Un peu de Trigo ... 15-09-06 à 22:14

Une dernière question pour disdromètre:

comment faites vous pour calculer ces lignes là de tète ?

sin²(a) = (6+2rac(5))/16
1-2sin²(a) = (1-rac(5))/4
(1-2sin²(a))² = (6 - 2rac(5))/16 = (3-rac(5))/8

Posté par re : Un peu de Trigo ... 16-09-06 à 06:50

Bonjour,

Remarque hors-exercice :
$\fbox{a=\frac{3\pi}{10}}$

Cela se déduit facilement de $\cos\frac{\pi}{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ , résultat démontré par exemple ici :
https://www.ilemaths.net/sujet-calcul-de-trigonometrie-76678.html#msg499807

Nicolas

Posté par re : Un peu de Trigo ... 16-09-06 à 10:27

il faut avouer que ma méthode est assez bourrin, et la méthode de Raymond est plus élégante..
le calcul n'était pas de tête seulement, j'avais un brouillon..

D.