Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup TrigonométrieTopics traitant de trigonométrie [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

calcul de trigonométrie

Posté par kar-ente (invité) 11-04-06 à 11:25

Bonjour,

Je ne sais pas comment m'y prendre, pourriez-vous me donner une indication, svp??

Je dois calculer le cos (2pi/5) et malgré mes formules de trigo, je ne vois pas comment faire.

Merci d'avance

Posté par
Roulianere : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 11:45

Bonjour,

T'as aucune indication ?

Nicoco

Posté par kar-ente (invité)re : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 13:38

Non, aucune. La suite de l'énoncé est :
En notant que (racine de 5/2/²=1²+(1/2)², en déduire une construction du pentagone à la règle et au compas.
Personnellement, ça ne m'aide pas beaucoup

Posté par kar-ente (invité)re : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 13:39

Non, aucune. La suite de l'énoncé est :
En notant que (racine de 5/2)²=1²+(1/2)², en déduire une construction du pentagone à la règle et au compas.
Personnellement, ça ne m'aide pas beaucoup

Posté par
Roulianere : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 13:57

Tu n'as aucun indication, par exemple sur la valeur d'un autre cosinus ou sinus  ? (par exemple sin(pi/5), cos(pi/5) etc...)

Nicoco

Posté par kar-ente (invité)re : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 14:12

Disons que j'ai une série de 20 exos à faire et que il y en a 5 que je n'arrive pas à faire, dont l'exercice précédent qui est :

Caluler la somme de k=0 à n de sin (a+kb) et de même pour le cos .
J'ai commencé par faire la somme de k de 0 à n de l'exp (a+kb) et je trouve que c'est une suite géométrique de 1er terme exp (ia) de raison exp (ib) et ayant (n+1) termes.
J'en déduie qu'elle s'écrit de cette façon  exp(ia)[1-exp(ib(n+1))]/(1-exp(ib)
et ensuite je reste bloquer

Posté par
Roulianere : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 14:18

Factorise au numérateur par 3$e^{i\frac{(n+1)b}{2}} et au dénominateur par 3$e^{i\frac{b}{2}}

Nicoco

Posté par kar-ente (invité)re : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 14:51

merci pour l'indication, je vais essayer de voir si je m'en sors.

Posté par
Roulianere : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 15:03

On a 4$\Bigsum_{k=0}^n e^{i(a+kb)} = e^{ia}[\frac{1-e^{i(n+1)b}}{1-e^{ib}}]= 4$e^{ia}\frac{e^{i\frac{(n+1)b}{2}} ( e^{-i\frac{(n+1)b}{2}}-e^{i\frac{(n+1)b}{2}})}{ e^{i\frac{b}{2}} (e^{-i\frac{b}{2}}-e^{-i\frac{b}{2}})

Or 4$\fbox{ e^{-i\frac{(n+1)b}{2}} -e^{i\frac{(n+1)b}{2}} =-(e^{i\frac{(n+1)b}{2}}- e^{-i\frac{(n+1)b}{2}})=-2isin(\frac{(n+1)b}{2})} et de même :

4$\fbox{ (e^{-i\frac{b}{2}}-e^{-i\frac{b}{2}} ) =-(e^{i\frac{b}{2}}-e^{-i\frac{b}{2}})= -2isin(\frac{b}{2}) }

On a donc : 4$\fbox{\Bigsum_{k=0}^n e^{i(a+kb)} = e^{ia}e^{i\frac{nb}{2}}\frac{-2isin(\frac{(n+1)b}{2})}{-2isin(\frac{b}{2})}= \blue e^{i(a+\frac{nb}{2})}\frac{sin(\frac{(n+1)b}{2})}{sin(\frac{b}{2})}

je te laisse finir ( sachant que \Bigsum_{k=0}^n cos(a+kb)=Re[\Bigsum_{k=0}^n e^{i(a+kb)}] etc... )  

Nicoco

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 15:06

Bonjour,

Pour cos(2pi/5), tu trouveras des indices ici :
https://www.ilemaths.net/sujet-prouver-que-c-est-egale-a-0-11821.html

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 15:29


On cherche d'abord à calculer 3$x=\cos\frac{\pi}{5}
3$\frac{2\pi}{5} et 3$\frac{3\pi}{5} sont supplémentaires donc :
3$\cos\frac{2\pi}{5}=-\cos\frac{3\pi}{5}=-\cos\left(\frac{2\pi}{5}+\frac{\pi}{5}\right)
On applique 3$\cos(a+b)=\cos a \cos b-\sin a \sin b :
3$\cos\frac{2\pi}{5}=-\cos\frac{2\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}+\sin\frac{2\pi}{5}\sin\frac{\pi}{5}
Or 3$\cos\frac{2\pi}{5}=2\cos^2\frac{2\pi}{5}-1 et 3$\sin\frac{2\pi}{5}=2\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}, donc :
3$2x^2-1=-(2x^2-1)x+2x\sin^2\frac{\pi}{5}
3$2x^2-1=-(2x^2-1)x+2x(1-x^2)
3$4x^3+2x^2-3x-1=0
3$(x+1)\left(x-\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{4}\right)=0
Or 3$0<x<1, donc :
3$\fbox{\cos\frac{\pi}{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}}
Or 3$\cos 2x=2\cos^2x-1
3$\fbox{\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}}

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
Roulianere : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 15:35

C'est quand même étonnant qu'ils n'indiquent pas la méthode ...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 15:40

C'est la Sup !

Posté par
Roulianere : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 15:43

Oui, mais à moins d'avoir déjà vu la méthode, ça me parait difficile de deviner tout ça mais bon ....

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 15:46

Je suis d'accord.
Mais pense justement que ces 20 exercices sont destinés à leur faire connaître les méthodes classiques.

Posté par
Roulianere : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 16:00

C'est vrai, tu as raison.

En tout cas, j'aurais jamais trouvé si je n'avais pas eu la méthode ...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 16:02

(Pour ma part, j'ai puisé mon inspiration dans le fil que j'ai donné en lien )

Posté par
Roulianere : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 16:06

Posté par kar-ente (invité)re : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 22:27

Merci beaucoup à tous les 2 et bonne soirée

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : calcul de trigonométrie 12-04-06 à 04:20

Je t'en prie.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : calcul de trigonométrie 14-04-06 à 17:47

Autre méthode, inspirée par https://www.ilemaths.net/sujet-equation-trigonometrique-77075.html#msg503166 et peut-être plus facilement généralisable :

On peut montrer que :
3$\sin(5x)=16\sin^5x-20\sin^3x+5\sin x
On factorise le membre de droite, d'abord par 3$\sin x, puis en reconnaissant une équation bicarrée dans le reste :
3$\sin(5x)=16\sin x\left(\sin x-\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\right)\left(\sin x-\frac{-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\right)\left(\sin x-\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\right)\left(\sin x-\frac{-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\right)
Les seuls zéros du membre de gauche dans 3$\left]0;\pi\right[ sont 3$x=\frac{2\pi}{5} et 3$x=\frac{4\pi}{5}
Les seuls zéros du membre de droite dans 3$\left]0;\pi\right[ correspondent à 3$\sin x=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} ou 3$\sin x=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}. En comparant les deux, il vient :
3$\sin\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}
Donc :
3$\cos\frac{2\pi}{5}=\left|\cos\frac{2\pi}{5}\right|=\sqrt{1-\sin^2\frac{2\pi}{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}
Puis :
3$\cos\frac{\pi}{5}=\left|\cos\frac{\pi}{5}\right|=\sqrt{\frac{1+\cos\frac{2\pi}{5}}{2}}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}

Sauf erreur.

Nicolas


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !