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calcul de trigonométrie

Posté par kar-ente (invité) 11-04-06 à 11:25

Bonjour,

Je ne sais pas comment m'y prendre, pourriez-vous me donner une indication, svp??

Je dois calculer le cos (2pi/5) et malgré mes formules de trigo, je ne vois pas comment faire.

Merci d'avance

Posté par
Roulianere : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 11:45

Bonjour,

T'as aucune indication ?

Nicoco

Posté par kar-ente (invité)re : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 13:38

Non, aucune. La suite de l'énoncé est :
En notant que (racine de 5/2/²=1²+(1/2)², en déduire une construction du pentagone à la règle et au compas.
Personnellement, ça ne m'aide pas beaucoup

Posté par kar-ente (invité)re : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 13:39

Non, aucune. La suite de l'énoncé est :
En notant que (racine de 5/2)²=1²+(1/2)², en déduire une construction du pentagone à la règle et au compas.
Personnellement, ça ne m'aide pas beaucoup

Posté par
Roulianere : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 13:57

Tu n'as aucun indication, par exemple sur la valeur d'un autre cosinus ou sinus  ? (par exemple sin(pi/5), cos(pi/5) etc...)

Nicoco

Posté par kar-ente (invité)re : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 14:12

Disons que j'ai une série de 20 exos à faire et que il y en a 5 que je n'arrive pas à faire, dont l'exercice précédent qui est :

Caluler la somme de k=0 à n de sin (a+kb) et de même pour le cos .
J'ai commencé par faire la somme de k de 0 à n de l'exp (a+kb) et je trouve que c'est une suite géométrique de 1er terme exp (ia) de raison exp (ib) et ayant (n+1) termes.
J'en déduie qu'elle s'écrit de cette façon  exp(ia)[1-exp(ib(n+1))]/(1-exp(ib)
et ensuite je reste bloquer

Posté par
Roulianere : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 14:18

Factorise au numérateur par 3$e^{i\frac{(n+1)b}{2}} et au dénominateur par 3$e^{i\frac{b}{2}}

Nicoco

Posté par kar-ente (invité)re : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 14:51

merci pour l'indication, je vais essayer de voir si je m'en sors.

Posté par
Roulianere : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 15:03

On a 4$\Bigsum_{k=0}^n e^{i(a+kb)} = e^{ia}[\frac{1-e^{i(n+1)b}}{1-e^{ib}}]= 4$e^{ia}\frac{e^{i\frac{(n+1)b}{2}} ( e^{-i\frac{(n+1)b}{2}}-e^{i\frac{(n+1)b}{2}})}{ e^{i\frac{b}{2}} (e^{-i\frac{b}{2}}-e^{-i\frac{b}{2}})

Or 4$\fbox{ e^{-i\frac{(n+1)b}{2}} -e^{i\frac{(n+1)b}{2}} =-(e^{i\frac{(n+1)b}{2}}- e^{-i\frac{(n+1)b}{2}})=-2isin(\frac{(n+1)b}{2})} et de même :

4$\fbox{ (e^{-i\frac{b}{2}}-e^{-i\frac{b}{2}} ) =-(e^{i\frac{b}{2}}-e^{-i\frac{b}{2}})= -2isin(\frac{b}{2}) }

On a donc : 4$\fbox{\Bigsum_{k=0}^n e^{i(a+kb)} = e^{ia}e^{i\frac{nb}{2}}\frac{-2isin(\frac{(n+1)b}{2})}{-2isin(\frac{b}{2})}= \blue e^{i(a+\frac{nb}{2})}\frac{sin(\frac{(n+1)b}{2})}{sin(\frac{b}{2})}

je te laisse finir ( sachant que \Bigsum_{k=0}^n cos(a+kb)=Re[\Bigsum_{k=0}^n e^{i(a+kb)}] etc... )  

Nicoco

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 15:06

Bonjour,

Pour cos(2pi/5), tu trouveras des indices ici :
https://www.ilemaths.net/sujet-prouver-que-c-est-egale-a-0-11821.html

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 15:29


On cherche d'abord à calculer 3$x=\cos\frac{\pi}{5}
3$\frac{2\pi}{5} et 3$\frac{3\pi}{5} sont supplémentaires donc :
3$\cos\frac{2\pi}{5}=-\cos\frac{3\pi}{5}=-\cos\left(\frac{2\pi}{5}+\frac{\pi}{5}\right)
On applique 3$\cos(a+b)=\cos a \cos b-\sin a \sin b :
3$\cos\frac{2\pi}{5}=-\cos\frac{2\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}+\sin\frac{2\pi}{5}\sin\frac{\pi}{5}
Or 3$\cos\frac{2\pi}{5}=2\cos^2\frac{2\pi}{5}-1 et 3$\sin\frac{2\pi}{5}=2\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}, donc :
3$2x^2-1=-(2x^2-1)x+2x\sin^2\frac{\pi}{5}
3$2x^2-1=-(2x^2-1)x+2x(1-x^2)
3$4x^3+2x^2-3x-1=0
3$(x+1)\left(x-\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{4}\right)=0
Or 3$0<x<1, donc :
3$\fbox{\cos\frac{\pi}{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}}
Or 3$\cos 2x=2\cos^2x-1
3$\fbox{\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}}

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
Roulianere : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 15:35

C'est quand même étonnant qu'ils n'indiquent pas la méthode ...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 15:40

C'est la Sup !

Posté par
Roulianere : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 15:43

Oui, mais à moins d'avoir déjà vu la méthode, ça me parait difficile de deviner tout ça mais bon ....

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 15:46

Je suis d'accord.
Mais pense justement que ces 20 exercices sont destinés à leur faire connaître les méthodes classiques.

Posté par
Roulianere : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 16:00

C'est vrai, tu as raison.

En tout cas, j'aurais jamais trouvé si je n'avais pas eu la méthode ...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 16:02

(Pour ma part, j'ai puisé mon inspiration dans le fil que j'ai donné en lien )

Posté par
Roulianere : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 16:06

Posté par kar-ente (invité)re : calcul de trigonométrie 11-04-06 à 22:27

Merci beaucoup à tous les 2 et bonne soirée

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : calcul de trigonométrie 12-04-06 à 04:20

Je t'en prie.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : calcul de trigonométrie 14-04-06 à 17:47

Autre méthode, inspirée par https://www.ilemaths.net/sujet-equation-trigonometrique-77075.html#msg503166 et peut-être plus facilement généralisable :

On peut montrer que :
3$\sin(5x)=16\sin^5x-20\sin^3x+5\sin x
On factorise le membre de droite, d'abord par 3$\sin x, puis en reconnaissant une équation bicarrée dans le reste :
3$\sin(5x)=16\sin x\left(\sin x-\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\right)\left(\sin x-\frac{-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\right)\left(\sin x-\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\right)\left(\sin x-\frac{-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\right)
Les seuls zéros du membre de gauche dans 3$\left]0;\pi\right[ sont 3$x=\frac{2\pi}{5} et 3$x=\frac{4\pi}{5}
Les seuls zéros du membre de droite dans 3$\left]0;\pi\right[ correspondent à 3$\sin x=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} ou 3$\sin x=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}. En comparant les deux, il vient :
3$\sin\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}
Donc :
3$\cos\frac{2\pi}{5}=\left|\cos\frac{2\pi}{5}\right|=\sqrt{1-\sin^2\frac{2\pi}{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}
Puis :
3$\cos\frac{\pi}{5}=\left|\cos\frac{\pi}{5}\right|=\sqrt{\frac{1+\cos\frac{2\pi}{5}}{2}}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}

Sauf erreur.

Nicolas


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