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Un ti peu de topo?

Posté par
robby3 07-05-07 à 21:24

Bonsoir tout le monde, histoire de pas perdre la main,je post un exo d'annales de partiels...

On note l2 l'espace vectoriel réel des suites (xn)n de nombres réels telle que la série de terme générale |xn|2 converge:

||x||=(\Bigsum_{k=0}^{\infty} |x_n|^2)^{\frac{1}{2}}

définit une norme sur l2

1)Montrer que l2 est complet pour cette norme.
2)On note C la partie de l2 définie par:

C=((x_n)_n \in l_2; \forall n \in N,|x_n|\le \frac{1}{n})
Montrer que C est un fermé d'interieur vide de l2.

je poste mes réponses dans quelques minutes.

Posté par
robby3Un ti peu de topo? 07-05-07 à 21:32

Bon pour 1)

Soit \rm (X_k)_k une suite de Cauchy dans l_2: \\ \forall \epsilon>0,\exists N\in N / \forall n,p\ge N: \\ \\ ||X_n-X_p||\le \epsilon

or on peut facilement voir que:
|X_n-X_p|\le (\Bigsum_{k=0}^{\infty} |X_n|^2)^{\frac{1}{2}}=||X_n-X_p||

Ainsi \rm (X_k)_k est de Cauchy dans R complet donc (X_k)_k \right X

il faut alors montrer que X est dans l2
C'est bien ça?

Posté par
robby3Un ti peu de topo? 07-05-07 à 21:39

si mes souvenirs sont bons, on dit que (X_k)_k est de Cauchy dans l2...donc a partir d'un certain rang on va avoir:

||X_N-X||\le\epsilon

le probleme c'est la série...somme infinie...je sais pas trop quoi faire la?!

Posté par
perroquetre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 21:43

Bonjour, robby3.

Tu as un problème de notation. X_k est un élément de l^2, c'est une suite que l'on peut noter par exemple:

X_k=(X_{k,n})_{n\in\mathbb N}

Ensuite, k étant fixé, tu peux effectivement montrer que (X_{n,k})_{n\in\mathbb N est une suite de Cauchy dans R, donc converge vers un élément Y_k.
Et, ensuite, il faut montrer que (Y_k)_{k\in\mathbb N} est dans l^2.

Posté par
H_aldnoerre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 21:47

Et dans ta définition de la somme c'est pas plutôt x_k ? Sinon la variable est muette!
Dans le cours j'ai vu cette démo :
Soit (x_n) de Cauchy : ||x_n-x_m||\le e donc (\bigsum_{k=0}^d|x_n^k-x_m^k|^2)^{\frac{1}{2}}\le e soit \bigsum_{k=0}^d|x_n^k-x_m^k|^2\le e^2
En particulier |x_n^k-x_m^k|^2\le e^2 donc |x_n^k-x_m^k|\le e d'ou (x_n^k) de Cauchy dans \mathbb{R}.
On note x^k=lim x_n^k.
\forall e>0, \exists N_k tq n\ge N_k implique |x_n^k-x^k|\le e.

On a x=(x^1,...,x^d) (c'est des puissances mais en faite des indices!).
Donc \forall e>0, \exists N=max_{k} N_k tq n\ge N implique \Bigsum_{k=0}^d|x_n^k-x^k|^2\le \Bigsum_{k=0}^de^2.
Soit (\Bigsum_{k=0}^d|x_n^k-x^k|^2)^{\frac{1}{2}}\le d^{\frac{1}{2}}e donc ||x_n-x||\le d^{\frac{1}{2}}e cad x_n\longrightarrow_{\infty} x

Posté par
robby3re : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 21:48

Bonsoir Perroquet,
(X_{n,k})_n converge vers Y_k?
c'est encore une suite...?!

Posté par
H_aldnoerre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 21:49

Voila c'est ça le problème des notations, tu les met en puissance comme en td

Posté par
robby3re : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 21:50

ahh ok,bah on apas le meme cours alors!
bon bah je fais la 2)?

Posté par
H_aldnoerre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 21:50

En faite si perroquet y peut jeter un oeil sur ce que j'ai mis, car je suis pas sur !!

Posté par
robby3re : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 21:55

si c'est dans le cours...

pour la 2) pour montrer que c'est un fermé je fais avec le suites sachant que la valeur absolue est continue...donc c'est ok.

pour l'interieur vide,une piste?

Posté par
H_aldnoerre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 21:57

Enfin c'est dans le cours, mais j'ai refait de tête !
Comment ta montré que c'était fermé ?

Posté par
robby3re : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 21:58

faudrait raisonner par l'absurde mais je vois pas trop le cheminement du raisonnement...

Posté par
perroquetre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 21:59

Bonjour, H_aldnoer

Je suis d'accord avec la construction de x^k et j'adopterai tes notations pour la suite.

Par contre:

x=(x^0,x^1,...,x^k,...) (la suite n'est pas finie)

Et il faut montrer deux choses:

la suite x est dans l^2
la suite x_n converge vers x dans l^2


Pour robby3: la question 2 est plus facile, et c'est une bonne idée de commencer à la chercher

Posté par
H_aldnoerre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 22:04

On a pas montré que la suite x était dans l2 dans mon post ?

Posté par
robby3re : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 22:07

pour moi en tout cas on amontrer que x_n converge vers x pour l^2.

Posté par
perroquetre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 22:07

Robby3: Pour montrer que l'intérieur est vide. Considère un élément x de C. On cherche à démontrer qu'aucune boule B(x,r) n'est incluse dans C. On note e_n la suite dont dont tous les termes sont nuls sauf le n-ième qui vaut 1...

Robby3: Pour montrer que C est fermé: l'idée est correcte, mais la rédaction est importante (pour cette question)

Posté par
perroquetre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 22:14

H-aldnoer: je n'ai pas vu la démonstration. De plus la démonstration de la convergence de x_n vers x est fausse (parce que d tend vers l'infini, alors d^(1/2) e,  ça pose problème ...

Posté par
robby3re : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 22:15

Perroquet>\rm Soit (x_i)_{i\ge 1} \in Adh(C),\exists (x_k)_k de C/ \limi_{k\to \infty}||x-x_k||=0 \\ \\ On a x_k=(x_n^k)_{n\ge 1}. \\ \forall n\ge 1:\lim_{k\to \infty}x_n^k=x_n, \\ donc par conservation des inegalites au pasage de la limite: |x_n|=lim_{k\to \infty}|x_n^k|\le \epsilon d'ou x\in C

il doit y avoir des trucs à revoir...


Soit x dans C: |x|<=1/n: <=>x dans B(0,1/n)
je comprend pas ce qu'on fait avec e_n?

Posté par
H_aldnoerre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 22:18

ah ouais ...
Bon donc montrons que x=(x^0,x^1,...,x^k,...) est dans l^2.
On a lim x_n^k=x^k.
Il faut montrer que \bigsum_{k=0}^{\infty} |x_n^k|^2 existe ?

Posté par
perroquetre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 22:23

> robby3 :

J'expose d'abord l'idée de l'intérieur, en gardant les notations de mon post de 22h07.
On considère d'abord un N tel que:  4/N < r
y=x+r/2 e_N est dans B(x,r), parce que la norme2 de y-x est égale à la norme 2 de  r/2 e_N, donc est égale à r/2.
Maintenant, tu peux montrer que  y n'est pas dans C

Posté par
perroquetre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 22:24

> H-aldnoer: oui
Pour cela, il suffit de  montrer que la suite des sommes partielles est bornée.

Posté par
robby3re : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 22:28

Citation :
il suffit de  montrer que la suite des sommes partielles est bornée.

par e²?!

si y était dans C, d2(x-y)=d(r/2.e_n)<=1/n<0
une distance n'est jamais négative?!

non?

Posté par
H_aldnoerre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 22:29

j'arrive pas à trouver la majoration qui convient, une piste perroquet ?

Posté par
perroquetre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 22:36

>robby3: sur ton post de 22h15.
Il y a quelques petits problèmes de notation.

1)On prend x=(x^k) dans l'adhérence de C  commentaire: k est en exposant, pas en indice
2)x_k=(x_k^n)_{n\geq 0}
3)\forall n \quad \displaystyle\lim_{k \rightarrow +\infty} x_k^n=x^n[/tex \\ 4)[tex]Donc |x^n|=\displaystyle\lim_{k\rightarrow +\infty}|x_k^n|\leq \frac{1}{n}

Posté par
robby3re : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 22:39

ok d'accord, les incides je sais pas trop la différence entre en haut ou en bas?

et pour la 2) c'et correct?
(Merci)

Posté par
perroquetre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 22:39

Des problèmes dans mon post de 22h36.
Je n'avais pas réussi à faire un preview, et il y a quelques petits problèmes avec mon tex. Désolé.

Je dois m'absenter une demi-heure. A tout à l'heure

Posté par
robby3re : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 22:41

ok bah moi je te dis à une prochaine fois alors.
Bonne fin de soirée et merci encore à toi.

Posté par
H_aldnoerre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 22:43

j'attendrai perroquet
merci encore!

Posté par
perroquetre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 23:14

Pour montrer que la suite x est dans l^2.

La suite (x_n) est de Cauchy dans l^2. Donc, elle est bornée et il existe M tel que:
\forall n \quad ||x_n|| \leq M
En particulier:
\forall n \quad\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} |x_n^k|^2\leq M^2
\forall n \quad \forall N \quad \displaystyle \sum_{k=0}^N |x_n^k|^2 \leq M^2

Donc, pour tout N:
\displaystyle \sum_{k=0}^N |x^k|^2 = \lim_{n\rightarrow +\infty} \left(\displaystyle\sum_{k=0}^N |x_n^k|^2\right) \leq M^2

Et voilà: on a démontré que la suite des sommes partielles est bornée

Posté par
H_aldnoerre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 23:17

Donc la on a montré que :

Citation :
la suite x est dans l^2


?

Posté par
perroquetre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 23:33

On va s'attaquer maintenant à la convergence de la suite (x_n) vers x dans l^2.

Soit \epsilon >0. Comme la suite (x_n) est de Cauchy, il existe N tel que, pour tous n et p supérieurs ou égaux à N:
||x_n-x_p|| \leq \epsilon
\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} |x_n^k-x_p^k|^2 \leq \epsilon^2
\displaystyle \forall q \quad \sum_{k=0}^{q} |x_n^k-x_p^k|^2 \leq \epsilon^2

On a alors, pour tout n supérieur ou égal à N et pour tout q:
\displaystyle \sum_{k=0}^{q} |x_n^k-x^k|^2 = \lim_{p\rightarrow +\infty} \left( \displaystyle\sum_{k=0}^q |x_n^k-x_p^k|^2\right) \leq \epsilon^2

En faisant tendre q vers l'infini, pour tout n supérieur ou égal à N:
\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} |x_n^k-x^k|^2 \leq \epsilon^2

Donc:
\forall \epsilon>0 \quad \exists N \in \mathbb{N} \quad \forall n\in \mathbb{N} \quad n\geq N \Longrightarrow ||x_n-x||\leq\epsilon
Terminé

Posté par
perroquetre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 23:35

Réponse au post de 23h17.

Puisque la suite des sommes partielles \displaystyle\sum_{k=0}^N |x^k|^2 est bornée on en déduit que  la série \sum |x^k|^2 converge. Donc, la suite x est bien dans l^2

Posté par
H_aldnoerre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 23:38

C'est parfait, parce que j'ai tout compris.
Pour montrer que C fermé, vaut-il mieux passer par son complémentaire, ou la caractérisation avec les suites ?

Posté par
perroquetre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 23:39

J'ai répondu trop rapidement (j'ai oublié de vérifier que mon codage tex était correct). Je reposte.

Réponse au post de 23h17
Puisque la suite des sommes partielles \displaystyle\sum_{k=0}^n|x^k|^2 est bornée, on en déduit que la série \sum |x^k|^2 converge. Donc, x est bien dans l^2

Posté par
H_aldnoerre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 23:40

euh, c'est pas N au lieu de n ?

Posté par
perroquetre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 23:45

La réponse de robby3 était correcte (il était passé par la caractérisation par les suites), au moins dans le principe.
Pour ma part, je préfère voir C comme l'intersection des ensembles C_n, n décrivant N, C_n étant l'ensemble des suites x telles que |x^n|< 1/n (inégalité large). C_n est donc l'image réciproque du fermé [-1/n,1/n] par l'application continue x -> x^n   (cette application f_n est continue parce qu'elle est linéaire et continue puisque, pour tout x  |f_n(x)|< ||x_n|| (inégalité large)

Posté par
perroquetre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 23:47

Réponse au post de 23h40: N, si tu préfères. Il est vrai que, comme cela, il n'y a pas de confusion

Posté par
H_aldnoerre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 23:52

Je comprend ton raisonnement perroquet.
Celui-ci est-il correct :
Soit x_n dans C convergent vers x.
Montrons que x dans C.

Puisque x_n dans C, on a |x_n|\le\frac{1}{n} (*).
La fonction x\to |x| étant continue, x_n\to_{\infty} x implique |x_n|\to_{\infty} |x|.
Donc (*) |x|\le0\le\frac{1}{n}, soit x\in C.

Posté par
perroquetre : Un ti peu de topo? 07-05-07 à 23:59

Il y a un problème à la troisième ligne.
Puisque x_n est dans C, on a, pour tout k:  |x_n^k|\leq \frac{1}{k}
etc ... On en déduira que, pour tout k |x^k| < 1/k (inégalité large)

Posté par
H_aldnoerre : Un ti peu de topo? 08-05-07 à 00:04

Ah ok!
Mais comment on aboutit à x ?
Car on a x=(x^1,...,x^k,...) et c'est bien x que l'on doit majorer, non?

Posté par
perroquetre : Un ti peu de topo? 08-05-07 à 00:08

x est dans C si et seulement si pour tout k |x^k| < 1/k (inégalité large).
Ce n'est donc pas x que l'on doit majorer mais les éléments x^k

Posté par
H_aldnoerre : Un ti peu de topo? 08-05-07 à 00:09

et comme c'est vrai pour tout k, c'est bon ?

Posté par
perroquetre : Un ti peu de topo? 08-05-07 à 00:10

Oui

Posté par
H_aldnoerre : Un ti peu de topo? 08-05-07 à 00:10

par contre, pourquoi tu précises à chaque fois inégalité large ?

Posté par
perroquetre : Un ti peu de topo? 08-05-07 à 00:15

Parce que j'ai la flemme de passer en tex pour obtenir \leq. Alors, j'écris < en précisant qu'en fait, l'inégalité est large. Paradoxalement, cela me prend beaucoup moins de temps

Posté par
H_aldnoerre : Un ti peu de topo? 08-05-07 à 00:22

lol, ok!

Pour conclure, il faud montrer qu'il n'existe pas d'éléments a appartenant à l'intérieur de C ?
Soit A l'interieur de C (je ne connais pas l'écriture en TeX !).

A=\{x\in C\,,\exist r>0\,,B(x,r)\subset C\}

Posté par
H_aldnoerre : Un ti peu de topo? 08-05-07 à 00:22

*il faut !

Posté par
perroquetre : Un ti peu de topo? 08-05-07 à 00:27

Mes posts de 22h07 et 22h23 exposent l'idée.

Posté par
H_aldnoerre : Un ti peu de topo? 08-05-07 à 00:32

Citation :
On cherche à démontrer qu'aucune boule B(x,r) n'est incluse dans C.

Ok!
Citation :
On note e_n la suite dont dont tous les termes sont nuls sauf le n-ième qui vaut 1...

C'est à dire e_0=0, e_1=0, ...,e_{n-1}=0 et e_{n}=1 ?

Alors je n'ai pas compris comment utiliser ces e_n

Posté par
perroquetre : Un ti peu de topo? 08-05-07 à 00:32

Comme je vais me coucher, je donne la fin de la solution.
y=x +r/2 e_N   n'est pas dans C, parce que:
y_N = x_N +r/2   et    |x_N|<1/N (inégalité large )    et   r/2 > 2/N
donc  |y_N|>1/N, ce qui prouve que y n'est pas dans C

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