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Un zéro d'ordre 1 est un zéro isolé ?
Posté par Kernelpanic
Bonjour à tous,
en faisant des exercices sur les pôles et les zéros d'une fonction méromorphe, je me suis posé la question :
- Si z0 est un zéro d'ordre 1 de f, est-ce un zéro isolé ?
Dans mon exercice, on divise par la fonction f qui admet un zéro d'ordre 1 et je me suis dit que ce n'était pas raisonnable si on ajoutait pas des hypothèses supplémentaires (l'une d'elle serait que l'ouvert de définition soit connexe) pour éviter des voisinages nuls. Toutefois, je me suis dit que si f était nulle sur un voisinage de z0, en passant par les taux d'accroissements on finirait par rentrer dans ce voisinage et qu'on trouverait f'(z0) = 0 et de ce fait z0 ne serait pas un zéro d'ordre 1. Ça vous paraît juste ou je me suis trompé quelque part ? C'est juste une interrogation, si vous avez des contres-exemples ou si vous pouvez m'indiquer si un passage de ma pensée est foireux, allez-y. Merci d'avance.
Je crois que je me suis mélangé les pinceaux. On peut très bien ne pas avoir un zéro isolé sans pour autant que la fonction soit identiquement nulle dans un voisinage de ce point. J'avais le théorème des zéros isolés en tête qui tournait alors que dans mon énoncé, on a pas nécessairement un ouvert connexe, ma faute. Oubliez mon interrogation. Je vais peut-être revenir sur ce poste si je bloque sur mon exercice, ça m'évitera d'avoir crée ce sujet pour rien 
encore désolé...
Bonjour
Puisque tu parles de méromorphes, tu as des fonctions définies sur .
Tu avais raison au début. Une fonction définie sur un voisinage de qui admet
comme zéro simple, est bien non nulle sur un voisinage privé de
.
En effet, la définition de zéro simple est avec
.
Mais alors, la continuité de assure que
reste non nulle sur un voisinage de
.
Quoique...
Si on prend un entier m supérieur ou égal à 1, dire pour une fonction f holomorphe sur un ouvert U qu'elle admet un zéro d'ordre m en z0 dans U revient à dire qu'il existe une fonction g holomorphe dans un voisinage de z0, qui ne s'annule pas en z0 telle que :
f(z) = (z-z0)m g(z) dans ce voisinage
par continuité de g, il existe un voisinage où elle ne s'annule pas et (z-z0) s'annule uniquement en z0 donc il existe bien un voisinage en z0 où f ne s'annule pas et ainsi z0 est un zéro isolé
Ah ! Ça me conforte de voir ça Camélia ! Merci beaucoup pour ton message, je n'ai pas perdu du temps pour rien 
Passe une excellente journée.