Bonjour.
Dans cet exercice on doit utiliser le corollaire du théorème de Gauss qui dit:
(b a et c a et PGCD(b;c)=1) (bc a)
--------L'énoncé-------------------------------------------------------------------------------------
Déterminer tous les enties naturels n tels que n10⁵ et: n5[139]    et  n5[140]
--------Ma réponse---------------------------------------------------------------------------------

On a les équivalences suivantes:  n5[139] n-50[139]     et     n5[140] n-50[140]

D'autre termes, (n-5) est divisible par 139 et par 140. Puisque 139 est premier avec 140 (le résultat est trivial. De plus on peut montrer ça en utilisant l'algorithme d'Euclide).

Alors, (n-5) est divisible par 139140. Ce qui donne: n-50[19460]

Par suite, n-50[19460] (k) n-5=19460k
                                                         (k) n=19460k+5

À partir de la condition (n10⁵) (*), on tire:   019460k+510⁵

Cherchons alors les valeurs de l'entier k pour lesquelles n vérifie la condition (*). Il donne successivement les équivalences suivantes:

                      019460k+510⁵ -519460k100000-5

                                                                 k

                                                                 k

                                                                 k

                                                     Donc:    

        
Enfin, l'ensemble des entiers n est:  

            Ainsi,