Bonjour.

Je voudrais de l'aide pour  trouver l'égalité demandée à la question (d) de l'exercice suivant.

Soit X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans ^*, indépendantes et de même loi,
toutes deux définies sur le même espace probabilisé (,T ,P). On pose : I=min(X,Y),  M=max(X,Y) et D= M-I

on suppose que les variables I et D sont indépendantes.
On note b=P(D=0) et, pour tout entier naturel k non nul, p_k=P(X=k). On suppose p_k > 0 pour tout k ^*.

(a) Exprimer le réel b à l'aide de la famille .

(b) Exprimer, pour tout entier naturel k, la probabilité P(I>k) à l?aide de la famille .

(c) Soit . En calculant la probabilité P(I > k,D = 0) établir l'égalité:  

                    

(d) i. En déduire, pour tout entier naturel k non nul, l'égalité :

  ii. Calculer en fonction de b puis établir, pour tout entier naturel k non nul, l?égalité :
                        

(e) En déduire que la loi commune des variables X et Y est géométrique de paramètre .

Voila ce que j'ai  réussi à faire :

(a)

(b)

(c) On profite de l'indépendance des v.a I et D et on exprime la probabilité demandée de deux manières différentes