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Une caractérisation de la loi géométrique

Posté par
cfg977
05-05-22 à 12:50

Bonjour.

Je voudrais de l'aide pour  trouver l'égalité demandée à la question (d) de l'exercice suivant.

Soit X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans *, indépendantes et de même loi,
toutes deux définies sur le même espace probabilisé (,T ,P). On pose : I=min(X,Y),  M=max(X,Y) et D= M-I

on suppose que les variables I et D sont indépendantes.
On note b=P(D=0) et, pour tout entier naturel k non nul, pk=P(X=k). On suppose pk > 0 pour tout k *.

(a) Exprimer le réel b à l'aide de la famille (p_i)_{i \in \mathbb{N^*}}.

(b) Exprimer, pour tout entier naturel k, la probabilité P(I>k) à l?aide de la famille (p_i)_{i \in \mathbb{N^*}}.

(c) Soit k \in \mathbb{N}. En calculant la probabilité P(I > k,D = 0) établir l'égalité:  

                     \sum_{i=k+1}^{+\infty}{(p_i)^2}=b(\sum_{i=k+1}^{+\infty}{p_i})^2

(d) i. En déduire, pour tout entier naturel k non nul, l'égalité : (1-b)p_k = 2bP(X>k)

  ii. Calculer p_1 en fonction de b puis établir, pour tout entier naturel k non nul, l?égalité :
                        p_{k+1}=\frac{1-b}{1+b}p_k

(e) En déduire que la loi commune des variables X et Y est géométrique de paramètre p_1.

Voila ce que j'ai  réussi à faire :

(a) b=\sum_{i=1}^{+\infty}{(p_i)^2}

(b) P(I>k)=(\sum_{i=k+1}^{+\infty}{p_i})^2

(c) On profite de l'indépendance des v.a I et D et on exprime la probabilité demandée de deux manières différentes

      P(I>k, D=0)=P(I>k)P(D=0)

      \sum_{i=k+1}^{+\infty}{(p_i)^2}=b(\sum_{i=k+1}^{+\infty}{p_i})^2

Posté par
GBZM
re : Une caractérisation de la loi géométrique 05-05-22 à 17:40

Bonjour,

Tu peux t'intéresser à p_k^2= \sum_{i=k}^{+\infty}p_i^2 - \sum_{i=k+1}^{+\infty}p_i^2.

Posté par
cfg977
re : Une caractérisation de la loi géométrique 05-05-22 à 18:06

Je ne vois pas ne servir de cette égalité.

Posté par
GBZM
re : Une caractérisation de la loi géométrique 06-05-22 à 00:00

Ah bon ? On t'a fait pourtant juste avant calculer \sum_{i=k+1}^{+\infty} p_i^2 (et donc aussi \sum_{i=k}^{+\infty} p_i^2).

Posté par
cfg977
re : Une caractérisation de la loi géométrique 06-05-22 à 00:20

En fait c'est ce problème de compréhension qui me bloquait. Je n'envisageais pas le fait la relation est valable pour tout k dans N. J'ai fait le calcul on a :

p_k^2=\sum_{i=k}^{+\infty}{p_i^2}-\sum_{i=k+1}^{+\infty}{p_i^2} et en utilisant la relation précédent on trouve,

p_k^2=b((\sum_{i=k}^{+\infty}{p_i})^2-(\sum_{i=k+1}^{+\infty}{p_i})^2)=bp_k(p_k+2P(X>k)).

Après simplification des p_k de part et d'autre de l'égalité on trouve p_k=bp_k+2bP(X>k) et on retrouve l'égalité demandée.

Vous m'enlevez une épine dans le pied

Posté par
cfg977
re : Une caractérisation de la loi géométrique 06-05-22 à 01:24

Pour les questions (d) et (e)

(1-b)p_k=2bP(X>k)
 \\                   =2b(P_{k+1}+P(X>k+1))
 \\                   =2bP_{k+1}+2bP(X>k+1)
 \\                   =2bP_{k+1}+(1-b)P_{k+1}
 \\                   =(1+b)P_{k+1}

P_{k+1}=\frac{1-b}{1+b}P_k

(P_k) est une suite géométrique de raison   \frac{1-b}{1+b}=1-P_1 et de premier terme P_1.

La loi commune de X et de Y est géométrique de raison P_1



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