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Posté par Tinmar
Bonjour à tous, voila, je suis tombé sur un exercice qui me pose certaines difficultés, pouvez vous me guider et/ou me corriger ?
Soit ABCDEFGH un cube tel que (D ; vecteur DA ; vecteur DC ; vecteur DH) soit un repère orthonormal direct de l'espace. Soit I le centre du carré ABCD.
1) Donner un vecteur normal au plan (ADF)
j'ai donc fait : (AF)
(ADF)
(EB) est perpendiculaire à (AF) car ce sont les diagonales du carré ABEF
donc vecteur EB est orthogonal au vecteur AF
donc vecteur EB est orthogonal au plan (ADF)
2)En déduire une équation cartésienne du plan (ADF):
j'ai donc dit que : le point E a pour coordonnées (0;1;1) et B (1;1;0) dans le repère donné.
On a donc vecteur EB a pour coordonnées (1;0;-1)
On en déduit donc que le plan ADF a pour équation cartésienne : x-1z+d=0
Or E (ADF) donc :
0*0 + 0*1 -1*1 + d =0
donc d=1
Donc le plan (ADF) a pour équation cartésienne : x-1z+1=0
3)Quelle est la distance de B au plan (ADF) ?
Comme (EB) est perpendiculaire à (AF):
dist(B;(ADF)) vaut la moitié de la diagonale.
Si le cube a pour longueur d'arête a, on a donc :
dist(B;(ADF))= EB/2 = (a
2)/2
4)Calculer l'aire du triangle ADF.
AD=a on a donc Aire de ADF = (a²2)/2
5)Calculer le volume de la pyramide ADFB.
(1/3)*((a²2)/2)*((a2)/2)
=a3 / 6
6)On appelle P le barycentre du système pondéré : [(A;2),(C;-1)]
Montrer que P est le symétrique de C par rapport à A.
C'est à partir de cette question que je bloque, je n'ai aucune idée de la méthode à utiliser, de plus dans les questions précédentes, je n'utilise pas de produit scalaire, or il sagit d'un exercice sur les produits scalaires !
J'ai donc un doute sur la crédibilité de mes réponses, me suis-je trompé dans la schématisation de mon cube ?
Merci à vous pour avoir pris la peine de lire ce sujet.
Bonsoir,
1)
Citation :
(EB) est perpendiculaire à (AF) car ce sont les diagonales du carré ABEF
donc vecteur EB est orthogonal au vecteur AF
donc vecteur EB est orthogonal au plan (ADF)
(EB) est perpendiculaire à (AF) car ce sont les diagonales du carré ABEF
donc vecteur EB est orthogonal au vecteur AF
donc vecteur EB est orthogonal au plan (ADF)
Ca ne suffit pas: pour qu' une droite soit orthogonale à un plan, il faut qu' elle soit orthogonale à 2 droites sécantes de ce plan.
Mais tu as de la chance
2) Une erreur:
de plus le plan
son équation est donc
3) Il n' y a pas de
4) Même remarque: pas de
5)
6) Pour tout point
avec
OK merci, j'avais donc mal positionné les points sur mon cube d'où mes erreurs de coordonnées. Après correction je trouve bien les mêmes résultats que toi 
Cependant, un petit problème persiste encore dans ces 2 questions suivantes :
7)Soit E l'ensemble des points M des l'espace tels que :
Determiner E et montrer que AE.
8)Soit H l'ensemble des points M de l'espace tels que :
Determiner H.
Attention, j'ai mis les égalités entre crochets mais il sagit en réalité de la norme des vecteurs !
Je n'arrive donc pas du tout à aboutir à ces égalités, j'ai essayé avec la traduction du barycentre, c'est à dire avec :
mais je n'aboutis à rien, j'ai essayé d'y introduire la relation de Chasles mais cela n'aboutit à rien.
Pouvez vous me guider ?
D'avance Merci.
7)
La somme des coefficients dans le second membre est nulle: le vecteur résultant est donc indépendant de
est donc la sphère de centre
et de rayon
Comme ,
8) On appelle le centre du cube:
est le plan médiateur de
Après vérification ce que tu as mis me parait tout à fait juste, vu comme cela ça parait évident, j'ai tout compris. je vais pouvoir avancer grâce à toi, encore merci (ce n'est pas la première fois que tu m'aides) et bonne continuation
Bonjour cailloux je sais que cela a été posté il y a longtemps mais je crois qu'il y a une erreur pour la réponse à la question 8.
Si O est centre du cube, il n'est pas barycentre de {(A;1);(B;1);(C;1);(D;1)}
donc l'égalité MA+MB+MC+MD=4MO (avec les flèches de vecteur) est fausse
Je pense qu'il faut prendre I centre de ABCD (il est donné dans l'énoncé) qui est barycentre de {(A;1);(B;1);(C;1);(D;1)}
Ainsi : MA+MB+MC+MD=4MO
On en arrive à l'égalité : MP=MI et H est donc la médiatrice de [IP]
Oops désolé j'ai fait une erreur de frappe, je voulais dire :
Ainsi : MA+MB+MC+MD=4MI et non pas 4MO