Bonsoir Elhor
Faut il trouver a ou seulement prouver son existence?
Qu'est qui empêche que a =1?  

Non non, ce qu'il faut montrer c'est que les seuls fonction qui vérifie cette équation sont les fonction f(x)=a*x pour a dans R+*

Salut Elhor Abdelali

posons g(x)= x²/f(x)

f(g(x))=x  est continue sur R+

=>  si f était bijective, g=f-1 (

pour prouver que f bijective, il faut que je prouve que f est strictement monotone.

remarquons que si x tend vers +oo f(g(x)) tend vers +oo.

or f est continue sur R+, en particulier sur tous intervalles fermés I  de R+, donc f est bornée sur I

donc lim(x-> +oo) g(x)= +oo donc lim(x-> +oo) f(x) = +oo.

Il existe alors un intervalle I de R+ pour lequel f est strictement croissante.

sur cet intervalle f est une bijection entre I et f(I).  

sur le restriction de I,

g(x)f(x)= x²

je tourne en rond..

D.

dans cet Intervalle I, x élément de I posons y=f(x)

g(y)f(y)=y² (1) =>  xf(f(x))= (f(x))²  

pas sûr, j'ai un doute sur le droit d'écrire car y n'est pas forcément dans I...

D.

disdrometre, une methode pour prouver que f est bijective :

tu as f(g(x))=x, donc f est surjective et g injective.


f(g(x)) -> +l'infinit quand x->l'infinit. donc soit g->0 quand x-> l'infinit et f-> l'infinit quand x->0., soit f et g tendent vers l'infinit quand x-> l'infinit.
(par l'absurde, si on nie les deux cas, alors on peut extraire une soit xn->l'infinit telle que g(xn) n'ai ni zéro ni l'infinit comme valeur d'adhérence et alors f(g(xn)) serait borné ce qui est contradictoire...)


par l'absurde supposons que f tendent vers l'infinit quand x-> 0, alors g(x)=x^2/f(x) tend aussi vers 0 quand x-> 0 donc f(g(x)) -> l'infinit quand x->0 contradictoire. donc g(x) et f(x) tendent vers l'infinit quand x-> l'infinit.


enfin en 0, f(g(x)) -> 0 donc par le meme raisonement, et étand donné qu'on sait déja que f(x) tend vers l'infinit en l'infinit, on obtiens que g(x)->0 quand x tend vers 0.

donc g est surjective, donc f est injective et donc bijective !! et g(f(x))=x.


bien sur, il y a peut-etre plus simple...

Ksilver, je viens de lire plusieurs fois ta démo, je pense avoir compris une grande partie (il est tard et j'ai un peu l'esprit embrouillé) l'intérêt de cette démo est l'utilisation de 0 et +oo, que je n'avais pas vu ( sutout la limite en 0).

donc f est bijective sur R+  ( bien meilleur que sur I ).

il me reste à résoudre xf(f(x))= (f(x))²  

D.

enfait dans ta démo tu oublie surtous 0 quand tu écrit : donc lim(x-> +oo) g(x)= +oo.

il ce pourait aussi que g tendent vers 0 et que f tendent vers l'infinit en 0. ( ton erreur est qu'il faut remplacer R+ par R+µ dans "or f est continue sur R+, en particulier sur tous intervalles fermés I  de R+" ). mais on arrive à s'en sortir en montrant que l'autre cas n'est pas compatible avec le comportement en 0...

pour la suite, comme tu dis, il est trop tard ^^

je me demande si la relation peut nous mener à quelque chose :
f(x^(n+1)/f(x)^n)=x^n/f(x)^(n-1)

Une piste possible :

La fonction vérifie une équation fonctionnelle assez remarquable. _{(sauf erreur)}

Si je ne me trompe , on doit trouver que pour tout réel , Une équation fonctionnelle.