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Une équation fonctionnelle

Posté par
BlackBird 03-07-22 à 01:21

Salut, je suis bloqué sur l'exo suivant:
Trouver l'ensemble des fonctions continues et bornées sur \usepackage{dsfont} \mathds{R} vérifiant \usepackage{dsfont} \forall x \in \mathds{R}, f(x)=\frac{1}{4}( f(x+1) +f(x-1) +f(x+\pi) + f(x- \pi) )
Je ne vois pas trop comment partir

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Une équation fonctionnelle 03-07-22 à 08:20

Bonjour,
Qu'as-tu tenté ?

Posté par
carpediemre : Une équation fonctionnelle 03-07-22 à 10:05

salut

on peut remarquer qu'une fonction affine est solution évidente ... mais est-ce les seules ?

Posté par
Zrunre : Une équation fonctionnelle 03-07-22 à 10:23

Bonjour ,

Un exercice très intéressant !

1/ Commence par regarder le cas où f(x)= \frac{1}{2} (f(x-1) + f(x+1) ) , qui est plus simple

2/ Pour le cas de l?exercice , Il pourra être utile d?introduire le sous-groupe \mathbb{Z} + \pi \mathbb{Z} et de se souvenir de la bornitude de f .

* Modération >  Balises LaTeX rectifiées *

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Une équation fonctionnelle 03-07-22 à 10:55

Bonjour carpediem,
Attention : " bornées sur \usepackage{dsfont} \mathds{R} "

L'ensemble F ses fonctions cherchées est un SEV de l'ensemble des fonctions définies sur muni des opérations usuelles.

Posté par
carpediemre : Une équation fonctionnelle 03-07-22 à 11:15

oui Sylvieg mais qui peut le plus peut le moins et on a donc au moins les fonctions constantes ...

ensuite et pour rejoindre dans une certaine mesure Zrun on peut regarder la périodicité d'une solution ...

Posté par
BlackBirdre : Une équation fonctionnelle 03-07-22 à 13:33

Salut,
Comme l'a suggéré Zrun, je me suis intéressé à f(x)=\frac{1}{2}(f(x-1)+ f(x+1)). J'ai supposé que f(0)=0 (on peut facilement se ramener à ce cas), et j'ai montré par récurrence que \usepackage{dsfont} f(k)=0 \, \forall k \in \mathds{Z} mais je n'arrive pas aller plus loin.

Sylvieg le caractère de SEV est la première chose que j'aie constatée, mais je ne vois pas quoi en faire...

Posté par
Zrunre : Une équation fonctionnelle 03-07-22 à 14:38

As-tu utilisé la bornitude de f pour conclure f(k) = 0 pour k \in \mathbb{Z} ?

Je suis d'accord que l'on puisse se ramener au cas f(0)=0 et c'est très bien de l'avoir remarqué , mais est-ce que dans ton raisonnement je peux remplacer f(0) par f(0,33333) par exemple ?

Posté par
BlackBirdre : Une équation fonctionnelle 03-07-22 à 14:56

Oui j'ai dû utiliser le caractère borné de f.

Avec ce que tu proposes, j'ai que f est 1-périodique:
Soit \usepackage{dsfont} y \in \mathds{R}. Je pose g=f-f(y). Par récurrence \usepackage{dsfont} \forall n \in \mathds{N}^{*}, g(y+n)=n g(y+1), donc g(y+1)=0 car f est bornée.

Posté par
Zrunre : Une équation fonctionnelle 03-07-22 à 15:07

Ok, donc pour synthétiser ce premier cas , le point crucial est que la connaissance de f(y) implique la connaissance de f(y + k\mathbb{Z}) .

Maintenant, on peut s'attaquer à ton premier cas

Posté par
BlackBirdre : Une équation fonctionnelle 03-07-22 à 15:39

Je ne vois pas comment aller plus loin, je n'ai pas encore fait intervenir l'hypothèse de continuité, mais je ne vois pas comment m'en servir. La 1-périodicité permet de se ramener à une étude sur [0,1], mais je ne vois pas quoi en faire

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Une équation fonctionnelle 03-07-22 à 15:41

La piste SEV semble ne rien donner effectivement.
Pour vérifier que j'ai bien compris celle de Zrun :
Le cas 1 donne les fonctions périodiques de période 1.
Maintenant, on peut s'attaquer au cas 2, c'est à dire à la question initiale.
C'est bien ça ?

Posté par
Zrunre : Une équation fonctionnelle 03-07-22 à 16:41

Sylvieg @ 03-07-2022 à 15:41

La piste SEV semble ne rien donner effectivement.
Pour vérifier que j'ai bien compris celle de Zrun :
Le cas 1 donne les fonctions périodiques de période 1.
Maintenant, on peut s'attaquer au cas 2, c'est à dire à la question initiale.
C'est bien ça ?


Oui c'est bien cela @Sylvieg

BlackBird @ 03-07-2022 à 15:39

Je ne vois pas comment aller plus loin, je n'ai pas encore fait intervenir l'hypothèse de continuité, mais je ne vois pas comment m'en servir. La 1-périodicité permet de se ramener à une étude sur [0,1], mais je ne vois pas quoi en faire


En fait , si ta fonction est continue et 1-périodique , elle vérifie directement f(x) = \frac{1}{2} (f(x-1) + f(x+1)) donc tu as résolu le premier cas .

Mais ce que je voulais que tu tires comme enseignement du premier cas c'est ce que j'ai écrit plus haut
Zrun @ 03-07-2022 à 15:07

Ok, donc pour synthétiser ce premier cas , le point crucial est que la connaissance de f(y) implique la connaissance de f(y + k\mathbb{Z}) .

Posté par
BlackBirdre : Une équation fonctionnelle 06-07-22 à 02:45

D'accord, mais je ne vois pas comment ramener cela à ma fonction initiale...
Tu as suggéré l'utilisation de Z + \pi Z, mais je ne vois pas quoi en faire...
Comme j'ai 4 termes qui apparaissent au lieu de 2 dans le cas précédent je n'arrive pas à faire apparaître une relation de recurrence...

Posté par
Zrunre : Une équation fonctionnelle 07-07-22 à 10:44

Dans ce cas, tu peux remarquer que si tu connais par exemple f(0), alors tu peux en déduire avec des relations sur les f(\mathbb{Z} + \pi \mathbb{Z}) .  

Mais bon , une autre idée :
Pose M = \sup_{[- \pi,  \pi]} f . Est-ce que M est atteint ? Si oui, est-ce que je peux appliquer la relation en ce point ? Qu'est-ce qu'on en déduit ?

* Message édité > balises modifiées pour M. C'est "tex" et pas "$"   *

Posté par
BlackBirdre : Une équation fonctionnelle 07-07-22 à 21:33

Ta deuxième indication semble pertinente mais je n'arrive pas à en faire bon usage... Sur le compact [-\pi, \pi] f admet un maximum atteint en c. Si c=0, alors f(\pi)=f(-\pi)=f(1)=f(-1)=M, mais si c\neq 0 ce n'est pas le cas...
En plus comme Z + \pi Z est dense dans R, montrer que f est constante sur Z + \pi Z permettrait de montre que f est constante sur R...

Posté par
Razesre : Une équation fonctionnelle 08-07-22 à 10:32

Bonjour,

Je propose une autre voie. On peut facilement remarquer que:

\forall x\in\mathbb{R}; f\left (\frac{(x+1)+(x-1)+(x+\pi )+(x-\pi )}{4} \right )=\frac{1}{4}\left ( f(x+1)+f(x-1)+f(x+\pi )+f(x-\pi ) \right )

Si tu arrives à justifier que cette fonction est convexe, le tour est joué, car toute fonction convexe sur \mathbb R et majorée est constante.

Idées à envisager:
Dans l'expression de l'équation fonctionnelle, nous remarquons apparaitre les pas suivant \left\{-1,1,-\pi ,\pi  \right \} .
Pour démontrer la convexité, nous utilisons la définition de la convexité, l'équation fonctionnelle ainsi que la continuité sur \mathbb R .
Je rajoute une réflexion que je pense facile à vérifier: En utilisant le fait que \forall x,y\in \mathbb{R} ;\forall \epsilon >0; \exists p,q\in\mathbb{Z}; \left|y-x-(p+q\pi ) \right| <\epsilon

Posté par
BlackBirdre : Une équation fonctionnelle 08-07-22 à 19:09

Salut Razes, ce que tu proposes est intéressant mais je e
ne vois pas comment à partir de ce que tu as proposé montrer la convexité...
Le dernier résultat que tu évoque c'est la densité de Z+\pi Z dans R, ce que j'ai évoqué plus tôt.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une équation fonctionnelle 22-07-22 à 01:44

Allez un début d'idée quand même !


Je note \Large\boxed{m=\inf_{\mathbb R}f~~,~~M=\sup_{\mathbb R}f}.


\Large\boxed{1} Si m est atteinte, ie \Large\boxed{\exists x_0\in\mathbb R~~,~~f(x_0)=m} alors,



\Large\boxed{\underbrace{f(x_0+1)-f(x_0)}_{\geqslant0}~+~\underbrace{f(x_0-1)-f(x_0)}_{\geqslant0}~+~\underbrace{f(x_0+\pi)-f(x_0)}_{\geqslant0}~+~\underbrace{f(x_0-\pi)-f(x_0)}_{\geqslant0}=0}



et donc \Large\boxed{f(x_0\pm1)=f(x_0\pm\pi)=m}


et il n'est alors pas difficile de voir que, \Large\boxed{\forall p,q\in\mathbb Z~~,~~f(x_0+p+q\pi)=m}.


La densité (dans \mathbb R) de \mathbb Z+\pi\mathb Z et la continuité de f (sur \mathbb R) permettent de conclure à la constance de f.



\Large\boxed{2} Si M est atteinte, ie \Large\boxed{\exists x_0\in\mathbb R~~,~~f(x_0)=M} alors,



\Large\boxed{\underbrace{f(x_0+1)-f(x_0)}_{\leqslant0}~+~\underbrace{f(x_0-1)-f(x_0)}_{\leqslant0}~+~\underbrace{f(x_0+\pi)-f(x_0)}_{\leqslant0}~+~\underbrace{f(x_0-\pi)-f(x_0)}_{\leqslant0}=0}



et donc \Large\boxed{f(x_0\pm1)=f(x_0\pm\pi)=M} et donc \Large\boxed{\forall p,q\in\mathbb Z~~,~~f(x_0+p+q\pi)=M}.


D'où (par le même argument que \boxed{1}) la constance de f. sauf erreur bien entendu



\Large\boxed{3} Je réfléchis encore !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Une équation fonctionnelle 29-08-22 à 17:38

Bonjour,
Une solution, mais d'un niveau supérieur, est proposée ici : sujet en rade

Posté par
BlackBirdre : Une équation fonctionnelle 16-04-23 à 22:13

Je repasse ici après un certain temps (je sais pas si ça se fait de déterrer un sujet mort lorsqu'on en est l'auteur initial?)

En tous les cas après consultation de la solution proposée je ne peux affirmer qu'une chose: j'ai pas compris grand chose. Mais merci quand même, ça me donne envie d'en savoir plus!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Une équation fonctionnelle 17-04-23 à 08:48

Bonjour,
Mais si ça se fait :
Sympa d'avoir donné des nouvelles

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une équation fonctionnelle 17-04-23 à 17:52

Bonjour BlackBird et bon retour

Peux tu renseigner sur l'origine de cet exercice ?

Posté par
BlackBirdre : Une équation fonctionnelle 20-04-23 à 10:08

Bonjour!

elhor_abdelali cet exercice a été donné à un camarade à l'oral de maths de Ulm l'an dernier.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une équation fonctionnelle 20-04-23 à 18:08

Merci BlackBird pour l'information !

Je posterai une solution si j'arrive à conclure dans le cas \boxed{3} (voir ma solution partielle du 22-07-22 à 01:44)

Posté par
carpediemre : Une équation fonctionnelle 20-04-23 à 18:58

elhor_abdelali : je ne comprends pas quel est ton point 3/ :

f est continue et bornée sur R donc elle atteint ses bornes

si a  et b sont tels que f(a + p + q\pi) = m $ et $ f(b + p + q\pi) = M pour tous p, q dans Z

alors par densité n'a-t-on pas m = M ?

ou alors quel est le pb ?

merci par avance

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Une équation fonctionnelle 20-04-23 à 19:07

Bonjour carpediem,

Citation :
f est continue et bornée sur R donc elle atteint ses bornes
Heu...
Un exemple hyper simple : f(x) = 1/(x2+1)

Posté par
carpediemre : Une équation fonctionnelle 20-04-23 à 19:13

damned ! j'avais zappé ce cas !!

merci Sylvieg

mais elle atteint au moins l'un des deux comme dans ton cas ...

ouais bon on considère alors arctan !!

sauf que ces fonction ne vérifient plus la propriété donnée

un argument ne serait-il pas que 1 et pi sont linéairement indépendants sur Z ?

ou encore la fonction f peut-elle être (strictement) monotone (au moins sur un intervalle de longueur minimale pi) ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une équation fonctionnelle 20-04-23 à 19:20

carpediem : je serai d'accord avec toi si on avait un segment (ou en général un compact) à la place de \mathbb R. voir le contre-exemple de Sylvieg

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Une équation fonctionnelle 22-04-23 à 10:09

Sans chercher du arctan : f(x) = \dfrac{x\times |x|}{x^{2}+1}


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