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une inégalité : sinus

Posté par
anonyme 17-04-08 à 12:42

Bonjour: je suis face à une inégalité qui a priori est simple, mais pas vraiment en fait ...
Il faut montrer qu'il existe e >0 tel que, pour tout réel t il existe h dans [1/2,1[ vérifiant :
|sin(t+h)-sin(t)|>e
j'ai pensé à l'absurde -> à des suites -> à des suites extraites ... mais je n'arrive pas à faire aboutir mon idée. Si quelqu'un peut me donner un coup d'pouce ...
Cordialement

Posté par
elhor_abdelali Correcteurune inégalité : sinus. 17-04-08 à 13:17

Bonjour ;

Sinon on aurait en particulier 5$\fbox{\forall n\in\mathbb{N}^*\;\;\exists t_n\in\mathbb{R}\;/\;\forall h\in[\frac{1}{2},1[\;,\;|sin(t_n+h)-sin(t_n)|\le\frac{1}{n}}

en notant 5$\fbox{x_n=t_n-E(\frac{t_n}{\pi}).\pi} on vérifie facilement que 4$\fbox{\forall n\ge1\;,\;x_n\in[0,\pi[}
et que 5$\fbox{\forall n\ge1\;\;\forall h\in[\frac{1}{2},1[\;,\;|sin(x_n+h)-sin(x_n)|\le\frac{1}{n}}

mais alors si 3$\fbox{x\in[0,\pi]} est une valeur d'adhérence de (x_n) on devrait avoir 5$\red\fbox{\forall h\in[\frac{1}{2},1[\;,\;sin(x+h)=sin(x)} (sauf erreur bien entendu)

Posté par
anonymere : une inégalité : sinus 17-04-08 à 17:56

Maître Elhor, Merci.
Juste une question : pourquoi ont-ils particulièrement choisis h dans [1/2;1[ pourquoi pas ailleurs ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurune inégalité : sinus. 17-04-08 à 18:22

De rien hatimy

Tout intervalle d'intérieur non vide aurait mené à la contradiction.
Mais là on a répondu à une question isolée et le choix de l'intervalle [\frac{1}{2},1[ a probablement une relation avec le reste du problème


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